Question

如圖所示，水平地面上方的H高區域內有勻強磁場，水平界面PP′是磁場的上邊界，磁感應強度為B，方向是水平的，垂直于紙面向里．在磁場的正上方，有一個位于豎直平面內的閉合的矩形平面導線框abcd，ab長為l₁，bc長為l₂，H＞l₂，線框的質量為m，電阻為R．使線框abcd從高處自由落下，ab邊下落的過程中始終保持水平，已知線框進入磁場的過程中的運動情況是：cd邊進入磁場以后，線框先做加速運動，然后做勻速運動，直到ab邊到達邊界PP′為止．從線框開始下落到cd邊剛好到達水平地面的過程中，線框中產生的焦耳熱為Q．求：
（1）線框abcd在進入磁場的過程中，通過導線的某一橫截面的電荷量是多少？
（2）線框是從cd邊距邊界PP′多高處開始下落的？
（3）線框的cd邊到達地面時線框的速度大小是多少？

Answer 1

分析：（1）根據q=

.

I

△t=

△Φ

R

，求通過導線某一橫截面的電荷量．
（2）當重力等于安培力時，線框做勻速運動，根據mg=BIl₁，I=

Bl1v

R

，可求出勻速運動的速度．從線框開始下落到cd邊剛好到達水平地面的過程中，線框的重力勢能減小轉化為
線框的動能和內能，根據能量守恒定律求解高度．
（3）線框的ab邊進入磁場后，只有重力作用下，線框做勻加速運動，由運動學公式求解線框的cd邊到達地面時線框的速度大小．

解答：解：（1）設線框abcd進入磁場的過程所用時間為t，通過線框的平均電流為

.

I

，平均感應電動勢為

.

E

，則
 

.

E

=

△Φ

△t

，

.

I

=

. E

R

，△Φ=Bl₁l₂
通過導線的某一橫截面的電荷量 q=q=

.

I

△t=

△Φ

R

，解得 q=

Bl1l2

R

．
（2）設線框從cd邊距邊界PP′上方h高處開始下落，cd邊進入磁場后，切割磁感線，產生感應電流，在安培力作用下做加速度逐漸減小的加速運動，直到安培力等于重力后勻速下落，速度設為v，勻速過程一直持續到ab邊進入磁場時結束，有
  E=Bl₁v，I=

E

R

F_A=BIl₁，F_A=mg 
聯立解得 v=

mgR

B2 l 2 1

線框的ab邊進入磁場后，線框中沒有感應電流．只有在線框進入磁場的過程中有焦耳熱Q．線框從開始下落到ab邊剛進入磁場的過程中，線框的重力勢能轉化為線框的動能和電路中的焦耳熱．則有
 mg（h+l₂）=

1

2

mv2+Q
解得  h=

m3g2R2+2QB4 l 4 1

2mgB4 l 4 1

-l2
（3）線框的ab邊進入磁場后，只有重力作用下，勻加速下落，加速度大小為g，則有
 

v

2 1

-v2=2g(H-l2)
解得，cd邊到達地面時線框的速度v₁=

m2g2R2 B4 l 4 1 +2g(H-l2)

答：（1）線框abcd在進入磁場的過程中，通過導線的某一橫截面的電荷量是

Bl1l2

R

．

（2）線框是從cd邊距邊界PP′

m3g2R2+2QB4 l 4 1

2mgB4 l 4 1

-l2高處開始下落的．
（3）線框的cd邊到達地面時線框的速度大小是

m2g2R2 B4 l 4 1 +2g(H-l2)

．

點評：解決本題的關鍵掌握求解電量得方法，q=

.

I

△t=

△Φ

R

，以及會根據線框的受力情況判斷運動情況．