Question

如圖所示為示波器的原理圖，電子槍中熾熱的金屬絲可以發射電子，初速度很小，可視為零．電子槍的加速電壓為U₀，緊挨著是偏轉電極YYˊ、XXˊ，設偏轉電極的極板長均為L₁，板間距離均為d，偏轉電極XX’的右端到熒光屏的距離為L₂，電子電量為e，質量為m（不計偏轉電極YYˊ和XXˊ之間的間距）．在YYˊ、XXˊ偏轉電極上不加電壓時，電子恰能打在熒光屏上坐標的原點．求：
（1）若只在YYˊ偏轉電極上加電壓U _YYˊ=U₁（U₁＞0），則電子到達熒光屏上的速度多大？
（2）若在YY’偏轉電極上加電壓為U _YYˊ=U₁sinωt （U₁＞0），同時在XXˊ偏轉電極上加電壓U _XXˊ=U₂（U₂＞0），試在熒光屏上畫出圖形及其大致位置，并求出熒光屏上+y方向的最大偏轉量．

Answer 1

分析：（1）電子在加速電場中，由動能定理求解獲得的速度v₀在偏轉電場中做類平拋運動，由牛頓第二定律求得加速度，從而求出側向分速度，從而可求得到達熒光屏的速度；
（2）當YY′偏轉電極上的電壓達到最大值時電子在熒光屏上+y方向的偏轉量最大．先求出電子在偏轉電場YY′沿y方向的側向位移．電子離開電場后，做勻速直線運動，再運動學公式求出電子YY′偏轉電極后的側向位移，即可求得最大偏轉量．

解答：解：（1）經加速電壓后電子的速度為v₀
則根據動能定理得：eU₀=

1

2

m

v

2 0

…①
電子經過YY′偏轉電極的時間為t₁，側向分速度為v₁，則有 t₁=

L1

v0

…②
 v₁=at₁=

eU1

md

t₁…③
電子打到熒光屏上的速度等于離開YY′偏轉電極時的速度，
由①、②、③可得
  v=

v 2 0 + v 2 1

=

2eU0 m + e U 2 1 L 2 1 2md2U0

．
（2）若在YY′偏轉電極上加電壓為U _YYˊ=U₁sinωt （U₁＞0），同時在XXˊ偏轉電極上加電壓U _XXˊ=U₂（U₂＞0）時，電子在YY′方向上下移動，位移作周期性變化，在熒光屏上得到一條豎直的亮線；電子在XXˊ方向向X極板偏轉，所以在熒光屏上得到一條向X極板偏移的豎直直線，如圖紅線所示．
電子在YY′偏轉電極中的最大側向位移為 y₁=

1

2

a

t

2 1

=

1

2

?

eU1

md

?(

L1

v0

)2⑤
將①代入⑤得：y₁=

U1 L 2 1

4dU0

⑥
離開YY′偏轉電極后的運動時間為v₁、最大側向位移為y₂．
 t₂=

L1+L2

v0

 ⑦
 y₂=v₁t₂ ⑧
由②、③、⑦、⑧得：y₂=

U1L1(L1+L2)

2dU0

故電子在y方向的最大位移為y=y₁+y₂=

U1 L 2 1

4dU0

+

U1L1(L1+L2)

2dU0

=

U1L1

4dUo

（3L₁+2L₂）．
答：
（1）電子到達熒光屏上的速度是

2eU0 m + e U 2 1 L 2 1 2md2U0

．
（2）在熒光屏上畫出圖形及其大致位置如圖所示，電子熒光屏上+y方向的最大偏轉量是

U1L1

4dUo

（3L₁+2L₂）．

點評：本題是帶電粒子先加速后偏轉問題，電場中加速根據動能定理求解獲得的速度、偏轉電場中類平拋運動的研究方法是運動的分解和合成，常規問題．