Question

(18分）如圖所示，一個圓弧形光滑細圓管軌道ABC，放置在豎直平面內．軌道半徑為R，在A點與水半地面AD相接，地面與圓心O等高，MN是放在水平地面上長為3R，厚度不計的墊子，左端M正好位于A點將一個質量為m、直徑略小于圓管直徑的小球從A處管口正上方某處由靜止釋放，不考慮空氣阻力。

（1）若小球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經過C點時對管的作用力大小和方向如何？
（2）欲使小球能通過C點落到墊子上，小球離A點的高度H應是多少？

Answer 1

（1）小球對管子作用力大小為，方向豎直向下
（2）H的高度應為   

試題分析：（1）小球離開C點做平拋運動，落到M點時水平位移為R，豎直下落高度為R，根據平拋運動規律可得：    （1分）
運動時間          （1分）
從C點射出的速度為       （2分）
設小球以v₁經過C點受到管子對它的作用力為N，由向心力公式可得
       （2分）
，        （1分）
由牛頓第三定律知，小球對管子作用力大小為，方向豎直向下． （1分）
（2）小球落到M點時，對應小球下降的最小高度為H₁ ，根據機械能守恒定律可得
       （2分）
           （1分）
小球下降的高度最高時，小球運動的水平位移為4R，打到N點．
設能夠落到N點的水平速度為v₂，根據平拋運動規律可得：
        （2分）
設小球下降的最大高度為H₂ ，根據機械能守恒定律可得
          （2分）
           （1分）
故H的高度應為           （2分）