Question

【題目】如圖所示，光滑軌道槽ABCD與粗糙軌道槽GH（點(diǎn)G與點(diǎn)D在同一高度但不相交，FH與圓相切）通過(guò)光滑圓軌道EF平滑連接，組成一套完整的軌道，整個(gè)裝置位于豎直平面內(nèi)。現(xiàn)將一質(zhì)量的小球甲從AB段距地面高處?kù)o止釋放，與靜止在水平軌道上、質(zhì)量為1kg的小球乙發(fā)生完全彈性碰撞。碰后小球乙滑上右邊斜面軌道并能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)E點(diǎn)。已知CD、GH與水平面的夾角為θ=37°，GH段的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25，圓軌道的半徑R＝0.4m，E點(diǎn)離水平面的豎直高度為3R（E點(diǎn)為軌道的最高點(diǎn)），（，，）求兩球碰撞后：

（1）小球乙第一次通過(guò)E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；

（2）小球乙沿GH段向上滑行后距離地面的最大高度；

（3）若將小球乙拿走，只將小球甲從AB段離地面h處自由釋放后，小球甲又能沿原路徑返回，試求h的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）30N ；（2）1.62m ；（3）h≤0.8m或h≥2.32m

【解析】

（1）小球甲從A點(diǎn)到B點(diǎn)由機(jī)械能守恒定律可得：

兩小球碰撞時(shí)由動(dòng)量守恒定律可得：

由機(jī)械能守恒定律可得：

小球乙從BC軌道滑至E 點(diǎn)過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：

小球乙在E點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律及向心力公式，

根據(jù)牛頓第三定律小球乙對(duì)軌道的壓力N＇=N，由以上各式并代入數(shù)據(jù)得：，=30N

（2）D、G離地面的高度

設(shè)小球乙上滑的最大高度為，則小球乙在GH段滑行的距離

小球乙從水平軌道位置滑至最高點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理：

其中，，

由以上各式并代入數(shù)據(jù)得

（3）只有小球甲時(shí)，小球甲要沿原路徑返回，若未能完成圓周運(yùn)動(dòng)，則

若能完成圓周運(yùn)動(dòng)，則小球甲返回時(shí)必須能經(jīng)過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)E。設(shè)小球沿GH上升的豎直高度為，上升過(guò)程克服摩擦力做功為，則：

小球甲從釋放位置滑至最高點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理：

設(shè)小球甲返回至G點(diǎn)時(shí)的速度為，根據(jù)動(dòng)能定理：

從G點(diǎn)返回至E點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒：

在E點(diǎn)，

由以上各式得h=2.32m

故小球甲沿原路徑返回的條件為或