Question

地球上空有人造地球同步通訊衛星，它們向地球發射微波．但無論同步衛星數目增到多少個，地球表面上總有一部分面積不能直接收到它們發射來的微波，請導出這個面積S與地球表面積S₀之比的數學表達式；并根據提供的數據求出該比值至少為多大？
（結果要求保留兩位有效數字．已知地球半徑R0=6.4×106m，地球表面的重力加速度g=10m/s²，半徑為R高、為h的球缺的表面積為S₁=2πRh，如圖所示，球的表面積為S=4πR²）

Answer 1

（1）如圖所示，因為同步衛星總是在赤道上空，其高度也是一定的．由它畫一條到地球表面的切線，可見兩極周圍的區域內就收不到微波通訊．以m、M分別表示衛星和地球的質量，r表示衛星到地心的距離，T表示地球的自轉周期，則對地球上質量為m₀的
物體有G

m0M

R02

=m0g，

                                                  

對地球同步衛星有G

mM

r2

=m(

2π

T

)2r
又根據幾何關系有rsinθ=R₀
以S'表示某個極周圍收不到微波區域的面積，則S′=2πR02(1-cosθ)
地球有兩個極，因而接收不到微波區域的面積與地球表面積S₀之比為：

S

S0

=

2S′

S0

=1-

1-( 4π2R0 gT2 ) 2 3

（2）代入數據解得

2S′

S0

=0.011
答：不能直接收到它們發射來的微波面積S與地球表面積S₀之比的數學表達式是

S

S0

=1-

1-( 4π2R0 gT2 ) 2 3

，大小是0.011．