Question

（2010?河西區二模）如圖1所示，上海磁懸浮列車專線西起上海地鐵2號線的龍陽路站，東至上海浦東國際機場，專線全長29.863公里．有中德兩國合作開發的世界第一條磁懸浮商運線．磁懸浮列車的原理如圖2所示．在水平面上，兩根平行直導軌間有豎直方向且等間距的勻強磁場B₁、B₂，導軌上有金屬框abcd，金屬框的面積與每個獨立磁場的面積相等．當勻強磁場B₁、B₂同時以速度v沿直線導軌運動．設直線導軌間距為L=0.4m，B₁=B₂=1T，磁場運動速度為v=5m/s，金屬框的電阻為R=2Ω．試求：
（1）若金屬框不受阻力時，金屬框如何運動，
（2）當金屬框始終受到f=1N的阻力時，金屬框相對與地面的速度是多少：
（3）當金屬框始終受到1N的阻力時，要使金屬礦維持最大速度，每秒鐘需要消耗多少能量？這些能量是誰提供的？

Answer 1

分析：（1）此題的難點在于存在交變磁場．線框運動過程中，acac和bd邊都切割磁感線產生的感應電動勢，圖示位置時產生的感應電動勢相同，根據左手定則判斷ac、db邊所受的安培力方向，即可分析金屬框的運動情況．
（2）當金屬框受到阻力時，最終做勻速直線運動時，阻力與線框受到的安培力平衡，根據F=BIL，E=BLv_相推導出安培力的表達式，根據平衡條件求出線框與磁場的相對速度v_相，金屬框相對于地面的速度為v_地=v₀-v_相．
（3）要使金屬框維持最大速度，必須給系統補充能量：一方面，線框內部要產生焦耳熱；另一方面，由于受到阻力，摩擦生熱．這些能量都是由磁場誰提供．摩擦生熱由Q₁=fs=fv_地t求解，焦耳熱由焦耳定律求解，即可得到總熱量．

解答：解：（1）首先分析ac和bd邊產生的感應電動勢，由于磁場方向相反，且線圈相對于磁場向左運動，因此，在如圖位置的電動勢方向相同（逆時針），根據左手定則，ac邊和bd邊受到的安培力都向右．所以金屬框做變加速運動，最終做勻速直線運動．
（2）當金屬框受到阻力時，最終做勻速直線運動時，阻力與線框受到的安培力平衡，設此時金屬框相對于磁場的速度為v，則
   F=BIL，E=BLv_相，
f=2BIL=2×

2BLv相

R

BL
得v_相=

fR

4B2L2

=

1×2

4×12×0．42

=3.125m/s
所以金屬框相對于地面的速度為
  v_地=v₀-v_相=5-3.125=1.875m/s
（3）要使金屬框維持最大速度，必須給系統補充能量：一方面，線框內部要產生焦耳熱；另一方面，由于受到阻力，摩擦生熱．設每秒鐘消耗的能量為E，這些能量都是由磁場誰提供．由于摩擦每秒鐘產生的熱量為Q₁：
  Q₁=fs=fv_地t=1×1.875×1=1.875J
每秒鐘內產生的焦耳熱為Q₂：
    Q₂=I²Rt=(

2BLv相

R

)2Rt=(

2×0.4×3.125

2

)2×2×1=3.125J
所以Q=Q₁+Q₂=5J
根據能量守恒可知這些能都是由磁場提供的．
答：
（1）若金屬框不受阻力時，金屬框做變加速運動，最終做勻速直線運動．
（2）當金屬框始終受到f=1N的阻力時，金屬框相對與地面的速度是1.875m/s．
（3）當金屬框始終受到1N的阻力時，要使金屬礦維持最大速度，每秒鐘需要消耗5J的能量，這些能量是磁場提供的．

點評：本題線框處于交變的磁場中，要抓住ac和bd邊都切割磁感線產生感應電動勢，都受到安培力作用．應根據磁場與線框的相對速度求感應電動勢．