Question

如圖，在0≤x≤d的空間，存在垂直xOy平面的勻強磁場，方向垂直xOy平面向里．y軸上P點有一小孔，可以向y軸右側垂直于磁場方向不斷發射速率均為v、與y軸所成夾角θ可在0～180⁰范圍內變化的帶負電的粒子．已知θ=45°時，粒子恰好從磁場右邊界與P點等高的Q點射出磁場，不計重力及粒子間的相互作用．求：
（1）磁場的磁感應強度；
（2）若θ=30°，粒子射出磁場時與磁場邊界的夾角（可用三角函數、根式表示）；
（3）能夠從磁場右邊界射出的粒子在磁場中經過的區域的面積（可用根式表示）．

Answer 1

分析：（1）根據θ=45°時，粒子恰好從磁場右邊界與P點等高的Q點射出磁場，粒子僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由幾何關系確定已知長度與軌道半徑的關系，從而根據半徑公式，可求出磁場的感應強度．
（2）由已知入射角與半徑的長度，根據幾何關系，借助于三角形的正弦定理，可確定粒子射出磁場時與磁場邊界的夾角．
（3）根據不同的入射速度方向，畫出兩種臨界狀態：一是沿著正y軸方向入射的軌跡；另一是與磁場右邊界相切的軌跡．并由幾何公式求出經過的區域面積．

解答：解：（1）當θ=45°時，粒子恰好從磁場右邊界與P點等高的Q點射出磁場，
由幾何關系可得，d=Rcos45°
解得：R=

2

2

d
粒子僅在洛倫茲力作用下，則有：Bqv=m

v2

R

所以，B=

mv

Rq

=

2 mv

qd

（2）根據半徑的大小R=

2

2

d與入射角30°，可畫出右圖，
△AMd中，∠MdA=60°，AM=R，Ad=

d

sin60°

-R=

4 3 -3 2

6

d，
則三角形正弦定理可得，

Ad

sinα

=

AM

sin60°

，
設粒子射出磁場時與磁場邊界的夾角為β，則有cosβ=sinα=

Ad

AM

sin60°=

2

-

3

2

所以θ=arccos(

2

-

3

2

)
（3）根據不同的入射速度方向，畫出兩種臨界狀態：一是沿著正y軸方向入射的軌跡；另一是與磁場右邊界相切的軌跡
因此能夠從磁場右邊界射出的粒子在磁場中經過的區域的面積=圖上方的扇形面積+下方菱形面積+右邊的三角形面積-下方的扇形面積
=下方菱形面積面積+右邊的三角形面積．
即有：

2

2

d×

2

2

d×

3

2

+

1

2

×(1-

2

2

)d×(

2

2

d×

3

2

+

2 -1

d)

點評：根據粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，依據幾何特性作圖是解題的關鍵之處．是典型的數理結合的題型，是難題．