Question

如圖，兩根光滑平行金屬導軌放置在傾角為θ=30°的絕縫斜面上，兩導軌間距為L=1m，導軌足夠長且電阻忽略不計，導軌上端接一個阻值為R=8Ω的定值電阻，兩導軌間等間 距分布著垂直于斜面向上的條形區域的勻強磁場，每一條形磁場區域的寬度及相鄰條形磁場區域的間距均為x=1.2m，斜面處的磁場邊界都是水平的．現有一長L=1m、質量m=0.4kg，電阻r=8Ω的導體棒水平放于導軌上、從離第一個條形磁場的上邊界距離為x₀=1.6m處靜止開始下滑．已知導體棒離開每個有界磁場前都有一段時間做勻速運動，從導體棒到達第一條形磁場的上邊界開始計時，通過每個磁場區域和無磁場區域的時間都相同．（重力加速度為g=10m/s²）求：
（1）導體棒進入，離開每一個條形磁場區域時的速度v₁、v₂；
（2）磁場區域的磁感應強度B；
（3）導體棒通過每一個條形磁場區域的過程中電阻R上產生的熱量Q；
（4）從導體棒到達第一條形磁場的上邊界開始計時，在足夠長的時間內，回路中感應電流的有效值I．

Answer 1

分析：（1）由于導體棒通過每個磁場區域和無磁場區域的時間都相同，可知導體棒在無磁場的范圍內做加速運動，在磁場的區域內做減速運動，根據動能定理即可求得兩個速度．
（2）導體棒在磁場中做勻速直線運動時，受到的安培力與重力沿斜面向下的分量大小相等方向相反，寫出平衡方程，即可求得磁感應強度．
（3）導體棒穿過磁場的過程中，導體棒克服安培力做功等于回路產生的熱量．根據功能關系得出回路產生的熱量，根據總熱量等于Q；
（4）求出導體棒穿過磁場的時間，然后根據電流的有效值的概念，根據公式Q=I²（R+r）T求得有效值．

解答：解：（1）設導體棒進入磁場時的速度為v₁，離開磁場時的速度為v₂，進入磁場時有：

v

2 1

=2gsin30°?x0
得：v₁=4m/s
在無磁場時有：

v

2 1

-

v

2 2

=2gsin30°?x
得：v₂=2m/s
（2）導體棒以速度做勻速直線運動時，感應電動勢為：E=BLv₂
感應電流：I=

E

R+r

代入數據解得：B=4T
（3）根據能量守恒得，回路中產生的總熱量：
Q=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

-mgxsin30°
代入數據解得：Q=4.8J
R上產生的熱量：Q_R=2.4J
（4）在無磁場區域運動的時間：t=

v1-v2

gsin30°

=0.4s
導體棒穿過一個有磁場和無磁場的時間：T=2t=0.8s
又：Q=I²（R+r）T=4.8J
得：I=

6

4

A=0.61A
答：（1）導體棒進入，離開每一個條形磁場區域時的速度v₁=4m/s，v₂=2m/s；
（2）磁場區域的磁感應強度是4T；
（3）導體棒通過每一個條形磁場區域的過程中電阻R上產生的熱量是4.8J；
（4）從導體棒到達第一條形磁場的上邊界開始計時，在足夠長的時間內，回路中感應電流的有效值為0.61A．

點評：本題將導體棒切割磁感線的幾種情況集中到一起，涉及力的平衡，能量的轉化關系與電流的有效值的概念，知識點多，過程多用到的公式多，屬于比較難的題目．