Question

如圖（a）所示，間距為L、電阻不計的光滑導軌固定在傾角為θ的斜面上．在區域I內有方向垂直于斜面向上的勻強磁場，磁感應強度為B；在區域Ⅱ內有垂直于斜面向下的勻強磁場，其磁感應強度B_t的大小隨時間t變化的規律如下圖（b）所示．t=0時刻在軌道上端的金屬細棒ab從如圖位置由靜止開始沿導軌下滑，同時下端的另一金屬細棒cd在位于區域I內的導軌上由靜止釋放．在ab棒運動到區域Ⅱ的下邊界EF處之前，cd棒始終靜止不動，兩棒均與導軌接觸良好．已知cd棒的質量為m、電阻為R，ab棒的質量未知、阻值為r，區域Ⅱ沿斜面的長度為2L，在t=t_x時刻（t_x未知）ab棒恰好進入區域Ⅱ，重力加速度為g．求：
（1）ab棒進入區域Ⅱ之前cd棒上的感應電流的方向及大小
（2）ab棒進入區域Ⅱ時的速度大小及進入時刻t_x
（3）ab棒從開始下滑至EF的過程中回路中產生的熱量．

Answer 1

分析：（1）ab棒進入區域Ⅱ之前，根據cd棒處于靜止，通過安培力的方向，根據左手定則判斷出cd棒上的感應電流的方向．由平衡條件和安培力公式F=BIL求得感應電流I的大小；
（2）由圖b圖看出，t=t_x時刻ab棒恰好進入區域Ⅱ做勻速直線運動，此時cd棒仍處于靜止狀態，電路中感應電流不變，根據閉合電路歐姆定律和E=BLv，可求出ab棒進入區域Ⅱ時的速度v的大小．db棒進入磁場Ⅱ前做勻加速直線運動，不受安培力，根據牛頓第二定律和運動學公式結合可求出t_x．
對cd棒，根據平衡求出感應電流的大小，根據P=I²R求出當ab棒在區域II內運動時cd棒消耗的電功率．
（4）回路中感應電流是恒定的，根據焦耳定律求解熱量．

解答：解：（1）cd棒處于靜止狀態，其受力如圖，由左手定則判斷知cd棒上的感應電流方向為：d到c．

對cd棒，由平衡條件，得mgsinθ=BIL  ①
解得 I=

mgsinθ

BL

（2）設ab棒以速度v進入區域Ⅱ將做勻速直線運動，由閉合回路的歐姆定律得：

BLv

R+r

=I  ②
解得 v=

mg(R+r)sinθ

B2L2

ab棒未進入區域Ⅱ時做勻加速直線運動，得  mgsinθ=ma  ③
    v=at_x ④
解得  tx=

m(R+r)

B2L2

（3）因回路中電流是恒定電流，則  Q=I2(R+r)(tx+

2L

v

)  ⑤
解得Q=

m3g2(R+r)2sin2θ

B4L4

+2mgLsinθ
答：
（1）ab棒進入區域Ⅱ之前cd棒上的感應電流的方向d到c，大小為

mgsinθ

BL

．
（2）ab棒進入區域Ⅱ時的速度大小及進入時刻t_x

m(R+r)

B2L2

．
（3）ab棒從開始下滑至EF的過程中回路中產生的熱量為

m3g2(R+r)2sin2θ

B4L4

+2mgLsinθ．

點評：解決這類問題的關鍵是弄清電路結構，正確分析電路中的電流以及安培力的變化情況．關鍵要抓住cd棒始終處于靜止狀態，分析受力情況是本題的突破口．