Question

（2013?寧波二模）如圖所示，用內壁光滑的薄壁細管彎成的“S”形軌道固定于豎直平面內，其彎曲部分是由兩個半徑均為R的半圓平滑對接而成（圓的半徑遠大于細管內徑），軌道底端D點與粗糙的水平地面相切．現一輛玩具小車m以恒定的功率從E點開始行駛，經過一段時間t之后，出現了故障，發動機自動關閉，小車在水平地面繼續運動并進入“S”形軌道，從軌道的最高點A飛出后，恰好垂直撞在固定斜面B上的C點，C點與下半圓的圓心等高．已知小車與地面之間的動摩擦因數為μ，ED之間的距離為x₀，斜面的傾角為30°．求：
（1）小車到達C點時的速度大小為多少？
（2）在A點小車對軌道的壓力是多少，方向如何？
（3）小車的恒定功率是多少？

Answer 1

分析：（1）小車離開A后做平拋運動，根據豎直方向的分運動可以求出小車的運動時間與豎直分速度，然后在C點根據運動的合成與分解可以求出小車的速度；
（2）小車在A點做圓周運動，由牛頓第二定律求出求出軌道對小車的支持力，然后由牛頓第三定律求出小車對軌道的壓力；
（3）從D到A只有重力做功，機械能守恒，應用機械能守恒定律可以求出D點的速度，從E到D應用動能定理可以求出小車的功率．

解答：解：（1）小車到達A點時的速度為v_A，離開A點后做平拋運動，落到C點時，
豎直方向上：h═3R=

1

2

gt²，
小車到達C點時的豎直分速度：v_y=gt，
在C點tan30°=

vA

vy

，v=

v 2 A + v 2 y

，
解得：v=2

2gR

，v_A=

2gR

；
（2）小車在A點的速度v_A=

2gR

，
在A點，由牛頓第二定律得：mg+F=m

v 2 A

R

，
解得：F=mg，方向豎直向下，
由牛頓第三定律可知，小車對軌道的壓力F′=F=mg，豎直向上；
（3）從D到A過程，機械能守恒，由機械能守恒定律得：

1

2

mv_D²=mg?4R+

1

2

mv_A²，
小車從E到D的過程，由動能定理得：
Pt-μmgx₀=

1

2

mv_D²
解得：P=

μmgx0+5mgR

t

；
答：（1）小車到達C點時的速度大小為2

2gR

；
（2）在A點小車對軌道的壓力是mg，方向豎直向上；
（3）小車的恒定功率是

μmgx0+5mgR

t

．

點評：小車的運動過程較為復雜，分析清楚小車的運動過程是正確解題的前提與關鍵；對小車應用運動的合成與分解、牛頓第二定律、機械能守恒定律、動能定理即可正確解題．