Question

（2013?淮安模擬）如圖所示，兩根等高光滑的

1

4

圓弧軌道，半徑為r、間距為L，軌道電阻不計．在軌道頂端連有一阻值為R的電阻，整個裝置處在一豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度為B．現有一根長度稍大于L、質量為m、電阻不計的金屬棒從軌道的頂端ab處由靜止開始下滑，到達軌道底端cd時受到軌道的支持力為2mg．整個過程中金屬棒與導軌電接觸良好，求：
（1）棒到達最低點時的速度大小和通過電阻R的電流．
（2）棒從ab下滑到cd過程中回路中產生的焦耳熱和通過R的電荷量．
（3）若棒在拉力作用下，從cd開始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運動，則在到達ab的過程中拉力做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）金屬棒滑到道底端MN時，由重力和軌道的支持力提供向心力，根據牛頓第二定律求出此時棒的速度．由E=BLv、I=

E

R

求解通過R的電流；
（2）棒下滑的過程中，其重力勢能轉化為棒的動能和電路中內能，根據能量守恒定律求解金屬棒產生的熱量．由法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式q=

.

I

△t求通過R的電荷量q．
（3）若棒從cd開始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運動，其水平方向的分運動是簡諧運動，棒中將產生正弦式電流．將棒的瞬時速度v₀分解，水平方向的分速度對產生感應電動勢有貢獻，求出電流的有效值，即可救出棒中產生的熱量，再根據功能關系求拉力做功．

解答：解：（1）到達最低點時，設棒的速度為v，產生的感應電動勢為E，感應電流為I，則
   2mg-mg=m

v2

r

金屬棒產生的感應電動勢  E=BLv
感應電流 I=

E

R

解得  v=

gr

，I=

BL gr

R

（2）設產生的焦耳熱為Q，由能量守恒定律有Q=mgr-

1

2

mv2
解得  Q=

1

2

mgr
設產生的平均感應電動勢為

.

E

，平均感應電流為

.

I

，通過R的電荷量為q，則
 

.

E

=

△?

△t

 

.

I

=

. E

R

q=

.

I

?△t
解得  q=

BrL

R

（3）金屬棒在運動過程中水平方向的分速度  vx=v0cos(

v0

r

t)
金屬棒切割磁感線產生正弦交變電流的有效值  I=

BLv0

2 R

在四分之一周期內產生的熱量  Q=I2R?

πr

2v0

設拉力做的功為W_F，由功能關系有  W_F-mgr=Q
解得  WF=mgr+

πrB2L2v0

4R

答：
（1）棒到達最低點時的速度大小是

gr

，通過電阻R的電流是I=

BL gr

R

．
（2）棒從ab下滑到cd過程中回路中產生的焦耳熱是

1

2

mgr，通過R的電荷量為

BrL

R

．
（3）若棒在拉力作用下，從cd開始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運動，在到達ab的過程中拉力做的功為mgr+

πrB2L2v0

4R

．

點評：本題中金屬棒做圓周運動，分析向心力的來源，根據牛頓運動定律求出速度，分析能量如何轉化，再運用能量守恒定律求內能．關鍵要懂得棒做勻速圓周運動時，水平方向的分運動是簡諧運動，將產生正弦式電流，要用有效值求熱量．