Question

【題目】對于同一物理問題，常常可以從宏觀與微觀兩個不同角度進行研究，找出其內在聯系，從而更加深刻地理解其物理本質。一段橫截面積為S、長為l的金屬電阻絲，單位體積內有n個自由電子，每一個電子電量為e。該電阻絲通有恒定電流時，兩端的電勢差為U，假設自由電子定向移動的速率均為v。

（1）求導線中的電流I；

（2）所謂電流做功，實質上是導線中的恒定電場對自由電荷的靜電力做功。為了求解在時間t內電流做功W為多少，小紅記得老師上課講過，W＝UIt，但是不記得老師是怎樣得出W＝UIt這個公式的，既然電流做功是導線中的恒定電場對自由電荷的靜電力做功，那么應該先求出導線中的恒定電場的場強，即E＝，設導體中全部電荷為q后，再求出電場力做的功，將q代換之后，小紅沒有得出W＝UIt的結果。

a. 請幫助小紅補充完善這個問題中電流做功的求解過程。

b. 為了更好地描述某個小區域的電流分布情況，物理學家引入了電流密度這一物理量，定義其大小為單位時間內通過單位面積的電量。若已知該導線中的電流密度為j，導線的電阻率為，試證明： 。

（3）由于恒定電場的作用，導體內自由電子會發生定向移動，但定向移動的速率遠小于自由電子熱運動的速率，而運動過程中會與導體內不動的粒子發生碰撞從而減速，因此自由電子定向移動的平均速率不隨時間變化。金屬電阻反映的是定向移動的自由電子與不動的粒子的碰撞。假設自由電子連續兩次與不動的粒子碰撞的時間間隔平均值為t0（這個時間由自由電子熱運動決定，為一確定值），碰撞后自由電子定向移動的速度全部消失，碰撞時間不計。請根據以上內容，推導證明金屬電阻絲的電阻率與金屬絲兩端的電壓無關。

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析 （3）電阻率為定值，與電壓無關。

【解析】

（1）假設在ts內，通過導線橫截面的總電量為q，則：q=Vne

其中ts內，通過橫截面所以電子所占體積V=Svt

所以q=Svnet

根據電流的定義，得： =neSv

（2）a．如圖所示，根據電場強度和電勢差的關系，

所以在ts內，恒定電場對自由電荷的靜電力做功

其中，帶入上式得

b．根據題意，單位時間內，通過單位面積的電荷量，稱為電流密度

即：

根據電阻定律：

又因為

所以：

（3）自由電子連續兩次與同一個不動粒子碰撞的時間間隔為t0，碰后電子立刻停止運動。

根據動量定理由，得

電子定向移動的平均速率為

根據電流得微觀表達式

根據歐姆定律

根據電阻定律可知

故影響電阻率的因素為:單位體積的自由電子數目n,電子在恒定電場中由靜止加速的平均速度t0.