Question

如圖8－55所示，半徑為r，質量不計的圓盤盤面與地面垂直，圓心處有一個垂直盤面的光滑水平定軸O，在盤的右邊緣固定

的小球B，放開盤讓其自由轉動．問：

(1)當A轉到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了多少？

(2)A球轉到最低點時的線速度是多少？

(3)在轉動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？

Answer 1

(1)兩球重力勢能之和減少了

(2)

(3)設半徑OA向左偏離豎直線的最大角度為θ，

解析:

兩小球重力勢能之和的減少，可選取任意參考平面為零勢能參考平面進行計算．由于圓盤轉動過程中，只有兩小球重力做功，根據機械能守恒定律可列式算出A球的線速度和半徑OA的最大偏角．

 (1)以通過轉軸O的水平面為零勢能面，開始時兩球重力勢能之和為

當A球轉至最低點時兩球重力勢能之和為

Ep2＝EpA＋EpB＝－mgr＋0＝－mgr，

故兩球重力勢能之和減少了

(2)由于圓盤轉動過程中，只有兩球重力做功，機械能守恒，因此兩球重力勢能之和的減少一定等于兩球動能的增加，設A球轉至最低點，A、B兩球的線速度分別為vA，vB，則

因A、B兩球固定在同一圓盤上，轉動過程中的角速度ω相同．由

(3)設半徑OA向左偏離豎直線的最大角度為θ，如圖8－56，該位置系統的機械能與開始時的機械能分別為

由系統機械能守恒定律E1＝E3，即

兩邊平方得　　　　　 4(1－sin2θ)＝1＋sin2θ＋2sinθ，

所以　　　　　　　　　　　 5sin2θ＋2sinθ－3＝0，

[小結] 系統的始態、末態的重力勢能，因參考平面的選取會有所不同，但是重力勢能的變化卻是絕對的，不會因參考平面的選取而異．機械能守恒的表達方式可以記為

Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，

也可以寫作：ΔEk增＝ΔEp減．本題采用的就是這種形式．