Question

【題目】如圖，一輕彈簧原長為2R，其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態，直軌道與一半徑為 R的光滑圓弧軌道相切于C點，AC=7R，A、B、C、D均在同一豎直面內．質量為m的小物塊P自C點由靜止開始下滑，最低到達E點（未畫出），隨后P沿軌道被彈回，最高點到達F點，AF=4R，已知P與直軌道間的動摩擦因數μ= ，重力加速度大小為g．（取sin37°= ，cos37°= ）
①求P第一次運動到B點時速度的大小．
②求P運動到E點時彈簧的彈性勢能．
③改變物塊P的質量，將P推至E點，從靜止開始釋放．已知P自圓弧軌道的最高點D處水平飛出后，恰好通過G點．G點在C點左下方，與C點水平相距 R、豎直相距R，求P運動到D點時速度的大小和改變后P的質量．

Answer 1

【答案】解：①C到B的過程中重力和斜面的阻力做功，所以：

其中：
代入數據得：
②物塊返回B點后向上運動的過程中：

其中：
聯立得：
物塊P向下到達最低點又返回的過程中只有摩擦力做功，設最大壓縮量為x，則：

整理得：x=R
物塊向下壓縮彈簧的過程設克服彈力做功為W，則：

又由于彈簧增加的彈性勢能等于物塊克服彈力做的功，即：EP=W
所以：EP=2.4mgR
③由幾何關系可知圖中D點相當于C點的高度：h=r+rcos37°=1.8r= =1.5R
所以D點相當于G點的高度：H=1.5R+R=2.5R
小球做平拋運動的時間：t=
G點到D點的水平距離：L= =
由：L=vDt
聯立得：
E到D的過程中重力、彈簧的彈力、斜面的阻力做功，由功能關系得：

聯立得：m′=
答：①P第一次運動到B點時速度的大小是 ．②P運動到E點時彈簧的彈性勢能是2.4mgR．③改變物塊P的質量，將P推至E點，從靜止開始釋放．已知P自圓弧軌道的最高點D處水平飛出后，恰好通過G點．G點在C點左下方，與C點水平相距 R、豎直相距R，求P運動到D點時速度的大小是 ，改變后P的質量是 m．
【解析】①對物體從C到B的過程分析，由動能定理列式可求得物體到達B點的速度； ②同①的方法求出物塊返回B點的速度，然后對壓縮的過程與彈簧伸長的過程應用功能關系即可求出；③P離開D點后做平拋運動，將物塊的運動分解即可求出物塊在D點的速度，E到D的過程中重力、彈簧的彈力、斜面的阻力做功，由功能關系即可求出物塊P的質量．本題考查功能關系、豎直面內的圓周運動以及平拋運動，解題的關鍵在于明確能達到E點的，并能正確列出動能定理及理解題目中公式的含義．
【考點精析】本題主要考查了彈性勢能和功能關系的相關知識點，需要掌握彈性勢能是物體由于發生彈性形變而具有的能量；當只有重力（或彈簧彈力）做功時，物體的機械能守恒；重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少:W G =E p1 -E p2；合外力對物體所做的功等于物體動能的變化:W 合 =E k2 -E k1 （動能定理）；除了重力（或彈簧彈力）之外的力對物體所做的功等于物體機械能的變化:W F =E 2 -E 1才能正確解答此題．