Question

（20分）如圖甲所示，在光滑絕緣的水平面上固定著兩對幾何形狀完全相同的平行金屬板PQ和MN， P、Q與M、N四塊金屬板相互平行地豎直地放置，其俯視圖如圖乙所示．已知P、Q之間以及M、N之間的距離都是d=0.2m，極板本身的厚度不計，極板長均為L=0.2m，板間電壓都是．金屬板右側為豎直向下的勻強磁場，磁感應強度，磁場區域足夠大．今有一質量為，電量為的帶負電小球在水平面上如圖從PQ平行板間左側中點O沿極板中軸線以初速度=4m/s進入平行金屬板PQ．

（1）試求小球剛穿出平行金屬板PQ進入磁場瞬間的速度；

（2）若要小球穿出平行金屬板PQ后，經磁場偏轉射入平行金屬板MN中，且在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側中點O′沿中軸線射出．則金屬板Q、M間距離最大是多少？

Answer 1

 解：（1）小球在PQ金屬板中做類平拋運動：

      小球所受電場力，而小球加速度

      故

      小球在板間運動的時間 

小球在垂直板方向上的速度      

 則小球離開PQ板時的速度為

 與中軸線的夾角為                 

（2）在PQ極板間，若P板電勢比Q板高，則小球向P板偏離，進入右側磁場后做圓周運動，由運動的對稱性，則必須N板電勢高于M板電勢，其運動軌跡如圖a所示；同理若Q板電勢比P板高，則必須M板電勢高于N板電勢，其運動軌跡如圖b所示。否則不可能在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側中點O′沿中軸線射出。

小球進入磁場后做圓周運動，設運動半徑為R，因洛侖茲力提供向心力，即： 

  所以  

在PQ極板間，若小球向P板偏，設小球射入與射出磁場的兩點間的距離為h_a；在PQ極板間，若小球向Q板偏，設小球射入與射出磁場的兩點間的距離為h_b。由圖中幾何關系（注：圖中半徑不同，為簡便，兩圖合一）可算得： 

小球偏離中軸線的位移

當小球向P板偏時，根據對稱性可得QM板間的距離為

 

當小球向Q板偏時，根據對稱性可得QM板間的距離為

 

顯然         

代入數據得 

因而金屬板Q、M間距離最大為0.75m。