Question

【題目】地心隧道是根據(jù)凡爾納的《地心游記》所設(shè)想出的一條假想隧道，它是一條穿過地心的筆直隧道，如圖所示。假設(shè)地球的半徑為R，質(zhì)量分布均勻，地球表面的重力加速度為g。已知均勻球殼對殼內(nèi)物體引力為零。

(ⅰ)不計(jì)阻力，若將物體從隧道口靜止釋放，試證明物體在地心隧道中的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動；

(ⅱ) 理論表明：做簡諧運(yùn)動的物體的周期T=2π，其中，m為振子的質(zhì)量，物體的回復(fù)力為F=－kx。求物體從隧道一端靜止釋放后到達(dá)另一端需要的時間t (地球半徑R = 6400km，地球表面的重力加速為g = 10m/ s2 ）。

Answer 1

【答案】（i）F回=-G 又M′= 解得F回= 而為常數(shù)，即物體做簡諧運(yùn)動。（ii）t=2512s

【解析】

（i）以地心為平衡位置，設(shè)某時刻物體偏離平衡位置的位移為x，萬有引力提供回復(fù)力，則有

F回=-G

又M′=

解得：

F回=

而為常數(shù)，即物體做簡諧運(yùn)動。

（ii）在地球表面，萬有引力等于重力

地球的質(zhì)量為M=

又T=2π

解得T=2π

物體從隧道一段靜止釋放后到達(dá)另一端需要的時間為半個周期，則

t=

代入數(shù)據(jù)，可得t=2512s