Question

如圖15所示，質量為M的長滑塊靜止在光滑水平地面上，左端固定一勁度系數為k且足夠長的水平輕質彈簧，右側用一不可伸長的細繩連接于豎直墻上，細繩所能承受的最大拉力為F.使一質量為m、初速度為v₀的小物體，在滑塊上無摩擦地向左滑動而后壓縮彈簧.彈簧的彈性勢能表達式為E_p=kx²(k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量).

圖15

(1)給出細繩被拉斷的條件.

(2)長滑塊在細繩拉斷后被加速的過程中，所能獲得的最大向左的加速度為多大?

(3)小物體最后離開長滑塊時，相對地面速度恰好為零的條件是什么?

Answer 1

(1)設彈簧壓縮量為x₁時繩被拉斷：kx₁=F從初始狀態到壓縮至繩被拉斷的過程中，

故細繩被拉斷的條件為v₀＞

(2)設繩被拉斷瞬間，小物體的速度為v₁，有

解得v₁=.

當彈簧壓縮至最短時，滑塊有向左的最大加速度a_m，此時，設彈簧壓縮量為x₂，小物體和滑塊有相同的速度為v₂，從繩被拉斷后到彈簧壓縮至最短時，小物體和滑塊、彈簧系統的動量守恒、機械能守恒：mv₁=(M+m)v₂

由牛頓第二定律：kx₂=Ma_m

解得a_m=

(3)設小物體離開時，滑塊M速度為v′，有：mv₁=Mv′，

解得m-M=

由于v₀＞0，故物體最后離開滑塊時，相對地面速度恰好為零的條件是m＞M，且滿足m-M=.