Question

如圖1所示為車站使用的水平傳送帶的模型，它的水平傳送帶的長度為L=8m，傳送帶的皮帶輪的半徑均為R=0.2m，傳送帶的上部距地面的高度為h=0.45m，現有一個旅行包（視為質點）以v₀=10m/s的初速度水平地滑上水平傳送帶．已知旅行包與皮帶之間的動摩擦因數為μ=0.6．試討論下列問題：

（1）若傳送帶靜止，旅行包滑到B端時沒有及時取下，旅行包將從B端滑落．則包的落地點距B端的水平距離為多少？
（2）設皮帶輪順時針勻速轉動，當皮帶輪的角速度ω值在什么范圍內，旅行包落地點距B端的水平距離始終為（1）中所求的水平距離？
（3）設皮帶輪以不同的角速度順時針勻速轉動，在圖2所示的坐標系中畫出旅行包落地點距B端的水平距離s隨皮帶輪的角速度ω變化的圖象（只需畫出ω≤100rad/s時的圖象）．

Answer 1

分析：（1）旅行包向右滑動，受到重力、支持力和滑動摩擦力，根據牛頓第二定律列式求加速度，然后根據速度位移公式列式求解末速度，最后根據平拋運動的分位移公式求解水平射程；
（2）如果旅行包一直減速，到達最右端的速度與傳送帶不動時的速度相同，則平拋的初速度相同，射程也就相同，故只需傳送帶的速度小于旅行箱到達最右端的速度即可；皮帶的角速度ω₁=40rad/s，旅行箱先減速后勻速，根據運動學公式和平拋運動的分位移公式列式求解．
（3）分三種情況進行討論分析：一直勻減速運動，先勻變速后勻速，一直勻加速運動，進而求出角速度與水平位移的關系．

解答：解：（1）旅行包做勻減速運動，加速度大小a=μg=6m/s²
包到達B端的速度為：v=

v 2 0 -2aL

=

102-2×6×8

m/s=2m/s
包的落地點距B端的水平距離為：s=vt=v

2h g

=2×

2×0.45 10

m=0.6m
（2）包在傳送帶上須勻減速運動，且到達B端的速度為v=2m/s時，水平距離才不變．
皮帶輪的臨界角速度ω=

v

R

=

2

0.2

rad/s=10rad/s
∴ω值的范圍是ω≤10rad/s
（3）①當ω≤10rad/s時，包一直減速，在B端速度2m/s，則：
平拋的水平距離為s=0.6m；
②當10rad/s＜ω′＜70rad/s時，水平先減速或加速再勻速，包在B端的速度與傳送帶的速度相同，則：
平拋的水平距離為s′=v′t=v′

2h g

=ωR

2h g

=0.06ω
③當ω≥70rad/s時，包一直加速，在B端速度14m/s，則平拋的水平距離為
s″=4.2m．
則旅行包落地點距B端的水平距離s隨皮帶輪的角速度ω變化的圖象如圖所示．
答：
（1）包的落地點距B端的水平距離是0.6m；
（2）設皮帶輪順時針勻速運動，且皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地點距B端的水平距離是2.4m；
（3）圖象如圖所示．

點評：本題關鍵是對旅行包的運動情況分析清楚，然后根據牛頓第二定律、運動學公式和平拋運動的分位移公式列式求解．