Question

磁懸浮鐵路系統是一種新型的交通運輸系統，它是利用電磁系統產生的排斥力將車輛托起，使整個列車懸浮在導軌上，同時利用電磁力進行驅動，采用直線電機模式獲得驅動力的列車可簡化為如下情境：固定在列車下端的矩形金屬框隨車平移；軌道區域內存在垂直于金屬框平面的磁場，磁感應強度沿Ox方向按正弦規律分布，最大值為B₀，其空間變化周期為2d，整個磁場以速度v₁沿Ox方向向前高速勻速平移，列車以速度V₂沿Ox方向勻速行駛，且v₁＞v₂，從而產生感應電流，受到的安培力即為列車向前行駛的驅動力．設金屬框電阻為R，長PQ=L，寬NP=d，求：

（1）如圖為列車勻速行駛時的某一時刻，設為t=0時刻，MN、PQ均處于磁感應強度最大值處，此時金屬框內感應電流的大小和方向．
（2）從t=0時刻起列車勻速行駛S距離的過程中，矩形金屬線框產生的焦耳熱．
（3）列車勻速行駛時所獲得的最大驅動力的大小，并定性畫出驅動力功率隨時間變化在2d/v₁-v₂時間內的關系圖線．

Answer 1

分析：（1）由題v₁＞v₂，線框中MN、PQ都切割磁感線，相對于磁場向左運動，從而產生感應電流，感應電流方向由右手定則判斷．線框相對于磁場速度大小為v₁-v₂，MN、PQ都產生感應電動勢，可公式求出感應電動勢和感應電流．
（2）列車勻速行駛過程中，線框中產生正弦式交變電流，根據有效值求出金屬線框產生的焦耳熱．
（3）當MN、PQ應位于磁場中磁感應強度同為最大值且方向相反處時，線框中產生的感應電動勢最大，感應電流最大，金屬框左右兩邊所受安培力最大，列車獲得的驅動力最大，根據電磁感應知識求出最大驅動力表達式和其功率表達式．

解答：解：（1）磁場沿x軸方向運動，v₁＞v₂，金屬框相對于磁場向x軸負方向運動，MN、PQ所在處磁感應強度方向相反，
         金屬框中產生的總電動勢為E=2B₀L（v₁-v₂）
         感應電流I=

E

R

=

2B0L(v1-v2)

R

         根據右手定則，感應電流方向為N→M→Q→P→N
   （2）由題意，金屬框t=0時刻所在處磁感應強度最大．則設經過時間為t，金屬框MN、PQ所在處磁感應強度大小
       均為B，則B=B₀cosωt，ω=

2π

T

，又T=

2d

v1-v2

       得到ω=

π(v1-v2)

d

      電流的瞬時值為i=

2B0L(v1-v2)

R

cos

π(v1-v2)

d

      可知，該電流為正弦式交變電流，其有效值為
         I=

Im

2

，Im=

2B0L(v1-v2)

R

      列車勻速行駛S距離經歷時間t=

S

v2

 
   故矩形金屬線框產生的焦耳熱Q=I²Rt
   將上述各式代入，得Q=

2 B 2 0 L2S(v1-v2)2

Rv2

（3）為使列車獲得最大的驅動力，MN、PQ應位于磁場中磁感應強度同為最大值且方向相反處，產生的感應電動勢最大，感應電流最大，金屬框左右兩邊所受安培力最大．
   MN、PQ所受安培力大小相等，F_MN=FP_Q=B₀I_mL
得到最大驅動力F=2F_MN=

4 B 2 0 L2(v1-v2)

R

中
由第（2）問可知，
經過t時刻B=B₀cosωt=B0cos

π(v1-v2)

d

t
         i=

2B0L(v1-v2)

R

cos

π(v1-v2)

d

得到驅動力瞬時值表達式是
        F=2BiL=

4 B 2 0 L2(v1-v2)

R

cos2

π(v1-v2)

d

t
驅動力功率的瞬時值P=Fv₂
得到P=

2 B 2 0 L2v2

R

【1+cos

2π(v1-v2)

d

t】
則驅動力功率隨時間變化在

2d

v1-v2

時間內的關系圖線．

答：（1）金屬框內感應電流的大小

E

R

為

2B0L(v1-v2)

R

，方向為N→M→Q→P→N．
    （2）從t=0時刻起列車勻速行駛S距離的過程中，矩形金屬線框產生的焦耳熱Q為

2 B 2 0 L2S(v1-v2)2

Rv2

；
    （3）列車勻速行駛時所獲得的最大驅動力的大小為

4 B 2 0 L2(v1-v2)

R

，驅動力功率隨時間變化在2d/v₁-v₂時間內的關系圖線如上圖．

點評：本題是電磁學知識在科學技術中的應用，是復雜的電磁感應現象．通過本題的研究可以培養分析問題和解決實際問題的能力．