Question

【題目】如圖所示，P是傾角為30°的光滑固定斜面，勁度系數為k的輕彈簧一端圓定在斜面底端的固定板C上，另一段與質量為m的物塊A相連接。細繩的一端系在物體A上，細繩跨過不計質量和摩擦的定滑輪，另一端有一個不計質量的小掛鉤。小掛鉤不任何物體時，物體A處于靜止狀態，細繩與斜面平行在小掛鉤上輕輕掛上一個質量也為m的物塊B后，物塊A沿斜面向上運動。斜面是夠長，動過程中B始終未接觸地面，已知重力加速度為g求

（1）物塊A處于靜止時，彈簧的壓縮量；

（2）設物塊A沿斜面上升通過Q點位置時速度最大，求Q點到出發點的距離X0和最大速度vm

（3）把物塊B的質量變為原米的N倍（N>0.5），小明同學認為，只要N足夠大，就可以使物塊A沿斜面上滑到Q點時的速度增大到2vm，你認為是否正確?如果正確，請說明理由,如果不正確，請求出A沿斜面上升到Q點位置的速度的范圍；

Answer 1

【答案】（1）（2）； （3）

【解析】

（1）物塊A處于靜止狀態時受力如圖：

由平衡條件有：mgsin30°=k△x1
解得：△x1=
（2）A加速上升階段，彈簧恢復原長前對A用牛頓第二定律有T+kx-mgsin30°=ma
對B由牛頓第二定律有mg-T=ma，

解得 mgsin30°+kx=2ma，

物體A在上升過程中，x減小，a減小，v增大；彈簧變為伸長后同理得mgsin30°-kx=2ma，上升過程x增大，a減小，v繼續增大；可見，當kx=mgsin30°時a=0，速度達到最大．此時彈簧的伸長量 x=△x1
Q點速度最大，對應的彈力大小恰好是，彈性勢能和初始狀態相同．故A上升到Q點過程，A、B的位移大小都是 x0=2△x1=
對A、B和彈簧系統用機械能守恒定律有
mg2△x1=mg2△x1sin30°+2mvm2
可得 vm=g
（3）不正確；
由能的轉化與守恒得：Nmg2△x1=mg2△x1sin30°+(Nm+m)v2
解得，△x1=
當N=0.5時，v=0，當N→∞時，v=g=2vm
故A沿斜面上升到Q點位置時的速度的范圍是 0＜v＜g=2vm．