Question

如圖所示，圓心在原點、半徑為R的圓將xOy平面分為兩個區域，在圓內區域Ⅰ（）和圓外區域Ⅱ（）分別存在兩個磁場方向均垂直于平面的勻強磁場；垂直于平面放置了兩塊平面熒光屏，其中熒光屏甲平行于軸放置在軸坐標為的位置，熒光屏乙平行于軸放置在軸坐標為的位置。現有一束質量為、電荷量為（）、動能為的粒子從坐標為（，0）的點沿軸正方向射入區域Ⅰ，最終打在熒光屏甲上，出現坐標為（，）的亮點。若撤去圓外磁場，粒子打在熒光屏甲上，出現坐標為（，）的亮點。此時，若將熒光屏甲沿軸負方向平移，則亮點的軸坐標始終保持不變。（不計粒子重力影響）

（1）求在區域Ⅰ和Ⅱ中粒子運動速度、的大小。
（2）求在區域Ⅰ和Ⅱ中磁感應強度、的大小和方向。
（3）若上述兩個磁場保持不變，熒光屏仍在初始位置，但從點沿軸正方向射入區域Ⅰ的粒子束改為質量為、電荷量為、動能為的粒子，求熒光屏上的亮點的位置。

Answer 1

（1）由于在磁場中運動時洛侖茲力不做功，所以在區域Ⅰ和Ⅱ中粒子運動速度大小就是在點入射時初始速度大小，由可得
                 ①            （2分）
（1）粒子在區域Ⅰ中運動了四分之一圓周后，從點沿軸負方向進入區域Ⅱ的磁場。如圖所示，圓周運動的圓心是點，半徑為

（2） ②      （2分）
由可得
            ③    （2分）
方向垂直平面向外。    ④            （1分）
粒子進入區域Ⅱ后做半徑為的圓周運動，由
可得
                ⑤
圓周運動的圓心坐標為（，），圓周運動軌跡方程為

將點的坐標（，）代入上式，可得
      ⑥             （2分）
利用⑤、⑥式得
  ⑦    （2分）
方向垂直平面向里。         ⑧             （1分）
（3）如圖所示，粒子先在區域Ⅰ中做圓周運動。由可知，運動速度為

類似于⑤式，半徑為 ⑨ （2分）
由圓心的坐標（，）可知，與的夾角為。通過分析如圖的幾何關系，粒子從點穿出區域Ⅰ的速度方向與軸正方向的夾角為
        ⑩            （3分）
粒子進入區域Ⅱ后做圓周運動的半徑為           （2分）
其圓心的坐標為（，）,即（，），說明圓心恰好在熒光屏乙上。所以，亮點將出現在熒光屏乙上的點，其軸坐標為
             （3分

解析