Question

（14分）

如圖所示，一個四分之三圓弧形光滑細圓管軌道ABC，放置在豎直平面內，軌道半徑為R，在A點與水平桌面AD相接，桌面與圓心O等高。MN是放在水平桌面上長為3R、厚度不計的墊子，左端M正好位于A點。將一個質量為m、直徑略小于圓管直徑的小球從A處管口正上方某點由靜止釋放，不考慮空氣阻力。

   （1）若小球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經過c點時對管的作用力大小和方向如何?

   （2）欲使小球能通過c點落到墊子上，小球離A點的最大高度應是多少?

 

Answer 1

【答案】

（1）小球對管子作用力大小為，方向豎直向下

（2）

【解析】（1）小球離開C點做平拋運動，設經過C點時的速度為v₁，從C點到M點的運動時間為t，根據運動學公式可得：

…………………………………………………………………①（2分）

……………………………………………………………②（2分）

設小球經過c點時受到管子對它的作用力為N，向下的方向為正方向。由牛頓第二定律可得：

   ……………………………………………………………③（2分）

    聯立①②③式可得：………………………………………………（1分）

    由牛頓第三定律可知。小球對管子作用力大小為，方向豎直向下………f（1分）

   （2）小球下降的高度最大時，小球平拋運動的水平位移為4R，打到N點。

設能夠落到N點的過C點時水平速度為v₂，根據運動學公式可得：  

    4R=v₂t………………………一……………………………………………④（1分）

設小球下降的最大高度為H，根據動能定理可知：

  …………………………………………………………⑤（3分）

聯立②④⑤式可得：

…………………………………………………⑤（2分）