Question

如圖所示，固定在地面上的光滑圓弧軌道AB、EF，他們的圓心角均為90°，半徑均為R．一質量為m，上表面長也為R的小車靜止在光滑水平面CD上，小車上表面與軌道AB、EF的末端B、E相切．一質量為m的物體（大小不計）從軌道AB的A點由靜止下滑，由末端B滑上小車，小車在摩擦力的作用下向右運動．當小車右端與壁DE剛接觸時，物體m恰好滑動到小車右端且與小車共速．小車與DE相碰后立即停止運動但不粘連，物體則繼續滑上圓弧軌道EF，以后又滑下來沖上小車．求：

（1）物體從A點滑到B點時的速率；
（2）物體與小車之間的滑動摩擦力；
（3）水平面CD的長度；
（4）當物體再從軌道EF滑下并滑上小車后，如果小車與壁BC相碰后速度也立即變為零，最后物體m停在小車上的Q點，則Q點距小車右端的距離．

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出物體從A點滑到B點時的速率；
（2）根據動量守恒定律求出物體滑上小車后的共同速度．對物體和小車組成的系統，運用能量守恒定律列式求解物體與小車之間的滑動摩擦力；
（3）對物體運用動能定理，聯立求出水平面CD的長度．
（4）根據動量守恒定律求出AB的共同速度，對系統運用能量守恒定律求出兩者速度相同時，之間的相對距離，小車停止后，物體做勻減速直線運動，再根據動能定理求出勻減速直線運動的位移，從而得出最終物體在小車上滑行的距離．

解答：解：（1）由機械能守恒定律得：mgR=

1

2

mv2
 解得：v=

2gR

（2）由動量守恒定律得：mv=2mv_共
  f?R=

1

2

mv2-

1

2

?2m

v

2 共

 解得：f=

1

2

mg
（3）對物體：-f?xCD=

1

2

m

v

2 共

-

1

2

mv2
（或對小車列式：f?(xCD-R)=

1

2

m

v

2 共

-0）
解得：xCD=

3

2

R
（4）物體從EF滑下后與車共速的速度為v′_共，產生的相對位移為s₁：
 mv_共=2mv′_共
f?s1=

1

2

m

v

2 共

-

1

2

?2mv

′

2 共

s1=

1

4

R
車撞BC后，物體做勻減速運動的位移為s₂：
對物體：-f?s2=0-

1

2

mv

′

2 共

s2=

1

8

R
Q點距小車右端的距離s=

1

4

R+

1

8

R=

3

8

R
答：（1）物體從A點滑到B點時的速率為

2gR

；
（2）物體與小車之間的滑動摩擦力為

1

2

mg；
（3）水平面CD的長度為

3

2

R；
（4）Q點距小車右端的距離為

3

8

R．

點評：本題綜合考查了動量守恒定律、能量守恒定律、機械能守恒定律、動能定理，綜合性較強，涉及的過程較多，關鍵是合理地選擇研究對象和研究過程，選擇合適的規律進行求解．