Question

（2008?茂名模擬）在納米技術中需要移動或修補原子，必須使在不停地做熱運動（速率約幾百米每秒）的原子幾乎靜止下來且能在一個小的空間區域內停留一段時間，為此已發明了“激光制令”的技術，若把原子和入射光分別類比為一輛小車和一個小球，則“激光制冷”與下述的力學模型很類似．
一輛質量為m的小車（一側固定一輕彈簧），如圖所示以速度v₀水平向右運動，一個動量大小為p，質量可以忽略的小球水平向左射入小車并壓縮彈簧至最短，接著被鎖定一段時間△T，再解除鎖定使小球以大小相同的動量p水平向右彈出，緊接著不斷重復上述過程，最終小車將停下來，設地面和車廂均為光滑，除鎖定時間△T外，不計小球在小車上運動和彈簧壓縮、伸長的時間．求：
（1）小球第一次入射后再彈出時，小車的速度大小和這一過程中小車動能的減少量；
（2）從小球第一次入射開始到小車停止運動所經歷的時間．

Answer 1

分析：（1）小球射入小車和從小車中彈出的過程中，小球和小車所組成的系統動量守恒，由動量守恒定律列式可求得小車的速度大小．并能求小車動能的減少量；
（2）小球第二次入射和彈出的過程小球和小車所組成的系統動量守恒．由動量守恒定律得出小球被彈出時小車的速度，運用歸納法分析得出小球重復入射和彈出的次數n．即求出從小球第一次入射開始到小車停止運動所經歷的時間．

解答：解：（1）小球射入小車和從小車中彈出的過程中，小球和小車所組成的系統動量守恒，
由動量守恒定律，得mv0-P=mv

′

1

…①mv

′

1

=mv1+P…②
則v1=v0-

2P

m

．…③
此過程中小車動能減少量為△Ek=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

，…④
則得 △Ek=2pv0-

2p2

m

=2p(v0-

p

m

)．…⑤
（2）小球第二次入射和彈出的過程，及以后重復進行的過程中，小球和小車所組成的系統動量守恒．由動量守恒定律，得
  mv1-p=mv

′

2

…⑥
  mv

′

2

=mv2+p…⑦
則v2=v1-

2p

m

=v

′

0

-2(

2p

m

)，…⑧
同理可推得vn=v0-n(

2p

m

)．…⑨
要使小車停下來，即v_n=0，小球重復入射和彈出的次數為n=

mv0

2p

，…⑩
故從小球第一次入射開始到小車停止運動所經歷的時間為t=n△T=

mv0

2P

?△T．
答：
（1）小球第一次入射后再彈出時，小車的速度大小為v0-

2P

m

，這一過程中小車動能的減少量2P（v0-

2P

m

）；
（2）從小球第一次入射開始到小車停止運動所經歷的時間為

mv0

2P

?△T．

點評：本題用小球與帶有彈簧碰撞的模型模擬“激光制冷”，要善于建立模型，研究過程，關鍵要運用歸納法得到小車的速度表達式．