Question

（08年黃橋中學三模）(16分)如圖所示,光滑的平行金屬導軌CD與EF間距為L＝1m,與水平夾角為θ＝30⁰,導軌上端用導線CE連接（導軌和連接線電阻不計）,導軌處在磁感應強度為B＝0.1T、方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場中.一根電阻為R＝lΩ 的金屬棒MN兩端有導電小輪擱在兩導軌上,棒上有吸水裝置P.取沿導軌向下為x軸正方向,坐標原點在CE中點.開始時棒處在x＝0位置（即與CE重合）,棒的起始質量不計.當棒自靜止起下滑時,便開始吸水,質量逐漸增大,設棒質量的增大與位移x的平方根成正比,即,k為一常數,.求：

⑴猜測金屬棒下滑過程中做的是什么性質的運動,并加以證明．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

⑵金屬棒下滑2 m位移時速度為多大?

⑶金屬棒下滑2 m位移過程中,流過棒的電荷量是多少?

Answer 1

解析：

⑴由于棒從靜止開始運動，因此首先可以確定棒開始階段做加速運動，然后通過受力分析，看看加速度可能如何變化？如圖所示，棒在下滑過程中沿導軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m隨位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一個變力；而安培力與速度有關，也隨位移增大而增大．如果兩個力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒有可能做勻加速運動．不妨假設棒做的是勻加速運動，且設下滑位移x時的加速度為ai,根據牛頓第二定律，有

　

　　　　　　　　　　　　　　　

安培力F＝ILB，，所以，

 

有　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

 

假設棒做勻加速運動．則瞬時速度 ，  

         

由于，代入后得到

 

 

　　　　　　　②

 

消去后得到

 

　　　　　 　�、�

 

從上述方程可以看出ai的解是一個定值，與位移x無關，這表明前面的假設成立．棒的運動確實是勻加速運動．若本問題中m不與成正比，代人牛頓第二定律方程后，不能消去，加速度ai就與x有關，從而說明ai是一個變量，得到是一個不能白洽的結果，則表明前面的假設不能成立．

 

⑵為了求棒下滑2 m時的速度，應先求出棒的加速度．將題目給出的數據代入③式得到

 

 

 

化簡有　　　　　　　　　　　　　　　　　④

 

令，則④式可寫作

 

 

解得         　　　a＝4.69m/s2．

 

根據勻變速運動規律，

 

⑶金屬棒下滑2m過程中，流過棒的電量可以用求解。

 

 

另一種解法是用求解。棒中瞬時電流。由于v是隨時間均勻增加的，所以電流也隨時間均勻增加，棒下滑2m位移所需時間為，在這段時間內平均電流，所以，所得的結果與前面相同

 

 

。