Question

【題目】輕質彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l．現將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示．物塊P與AB間的動摩擦因數μ=0.5．用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后釋放，P開始沿軌道運動，重力加速度大小為g．
①若P的質量為m，求P到達B點時速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點間的距離；
②若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P得質量的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：①將彈簧豎直放置在地面上，物體下落壓縮彈簧時，由系統的機械能守恒得
Ep=5mgl
如圖，根據能量守恒定律得
Ep=μmg4l+
聯立解得 vB=
物體P從B到D的過程，由機械能守恒定律得
mg2l+ =
解得 vD=
物體P離開D點后做平拋運動，則有
2l=
x=vDt
解得 x= l
即落地點與B點間的距離為 ．
②P剛好過B點，有：Ep=μm1g4l，解得 m1= m
P最多到C而不脫軌，則有 Ep=μm2g4l+m2gl，解得 m2= m
所以滿足條件的P得質量的取值范圍為： m≤mP＜ m．
答：①P到達B點時速度的大小是 ，它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點間的距離是 ．②P得質量的取值范圍為： m≤mP＜ m．
【解析】①先研究彈簧豎直的情況，根據系統的機械能守恒求出彈簧最大的彈性勢能．彈簧如圖放置時，由于彈簧的壓縮量等于豎直放置時的壓縮量，兩種情況彈簧的彈性勢能相等．由能量守恒定律求出物體P滑到B點時的速度，由機械能守恒定律求出物體P到達D點的速度．物體P離開D點后做平拋運動，由平拋運動的規律求水平距離．
②P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，能上升的最高點為C，根據能量守恒定律列式和臨界條件求解．解決本題時要抓住彈簧的形變量相等時彈性勢能相等這一隱含的條件，正確分析能量是如何轉化，分段運用能量守恒定律列式是關鍵．