Question

如圖所示，圓盤可以繞過圓心垂直圓盤的豎直軸在水平面內勻速轉動．圓盤半徑R=0.4m，在圓盤邊緣有一質量M=0.5kg的A物體，A通過長度L=0.7m的水平細輕繩穿過位于圓心的光滑輕質小定滑輪與質量m=0.29kg的B物體相連，輕繩與小孔間無摩擦．A物體與圓盤間的最大靜摩擦力為其正壓力的0.42倍．圓盤距地面高度H=0.5m．（g=10m/s²，AB兩物體可視為質點） 
求：①為使物體A與圓盤間不發生相對滑動，圓盤轉動的角度的范圍大小多大？
②若當A與圓盤間的靜摩擦力f=0.3N時，將OA段繩燒斷，則當B落地瞬間A、B兩物體的距離最大為多少？

Answer 1

分析：①A做勻速圓周運動，繩子拉力與摩擦力的合力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出角速度的范圍．
②繩子斷裂后，B做自由落體運動，A做平拋運動，應用自由落體運動規律與平拋運動規律可以求出A、B間的最大距離．

解答：解：①A受到的最大靜摩擦力背離圓心時，角速度最小，
由牛頓第二定律得：mg-μMg=Mω₁²R，解得：ω₁=2rad/s，
當A受到的最大靜摩擦力指向圓心時，角速度最大，
由牛頓第二定律得：mg+μMg=Mω₂²R，解得：ω₁=5rad/s，
角速度范圍是2rad/s≤ω≤5rad/s；
②繩子斷后，B做自由落體運動，
H-（L-R）=

1

2

gt²，解得：t=0.2s，
對于A，若靜摩擦力指向圓心，
由牛頓第二定律得：mg+f=M

v 2 1

R

，解得：v₁=1.6m/s，
若靜摩擦力背離圓心，物體A的線速度為v₂，mg-f=M

v 2 2

R

，
顯然由上述兩個方程可得：v₁＞v₂，所以物體A以v₁的速度平拋，當物體B落地時兩者間距最大；
物體A做平拋運動，t=0.2s時間內，沿速度方向的位移為x，
下落的位移為y，則有：x=v₁t，y=

1

2

gt2，解得：x=0.32m，y=0.2m，
所以此時A物體與地面的高度為：h=H-y=0.3m，
物體A、B間此時的距離為：S=

R2+x2+h2

=

0.3524

=0.59m；
答：：①為使物體A與圓盤間不發生相對滑動，圓盤轉動的角度的范圍是2rad/s≤ω≤5rad/s；
②若當A與圓盤間的靜摩擦力f=0.3N時，將OA段繩燒斷，則當B落地瞬間A、B兩物體的距離最大為0.59m．

點評：摩擦力與繩子拉力的合力提供向心力，摩擦力的方向既可以指向圓心，也可以背離圓心，根據摩擦力方向變化情況分析討論是正確解題的關鍵．