Question

如圖所示，在同一豎直平面內兩正對著的半徑為R的相同半圓滑軌道，相隔一定的距離x，虛線沿豎直方向，一質量為m的小球能在其間運動．今在最低點B與最高點A各放一個壓力傳感器，測試小球對軌道的壓力，并通過計算機顯示出來．當軌道距離x不同時，測得兩點壓力差△F_N與距離x的圖象如右圖所示．（不計空氣阻力，g取10m/s²
（1）當x=R時，為使小球不脫離軌道運動，求小球在B點的最小速度（用物理量的符號表示）
（2）試寫出A、B兩點的壓力差△F_N與 x的函數關系．（用m、R、g表示）
（3）根據圖象，求小球的質量和軌道半徑．

Answer 1

分析：（1）小球在軌道內只有重力做功，機械能守恒；最高點時的臨界條件為重力充當向心力，則由機械能守恒可得出B點的最小速度；
（2）由向心力公式可得出AB兩點時的壓力，則可求得壓力之差的表達式；
（3）由得出的壓力之差的表達式，結合圖象可以得出物體質量及軌道半徑．

解答：解：
（1）小球恰能在A點沿軌道運動時：
mg=m

v 2 A

R

                               
此時，小球在B點動能最小，由機械能守恒：

1

2

mv_B²=mg3R+

1

2

mv_A²                      
解得：v_B=

7gR

（2）在B點：F_NB-mg=m

v 2 B

R

                    
在A點：F_NA+mg=m

v 2 A

R

                       
小球從A到B機械能守恒：

1

2

mv_B²=mg（2R+x）+

1

2

mv_A²                    
兩點的壓力差：△F_N=F_NB-F_NA=6mg+

2mgx

R

（3）由圖象知：
截距：6mg=2.4
m=0.04kg
斜率：k=

2mg

R

=2
R=0.4m
答：（1）B點的最小速度為

7gR

； （2）兩點壓力差的絕對值為6mg+

2mgx

R

；（3）小球的質量為0.04kg；半徑為0.4m．

點評：機械能守恒與圓周運動的結合為常見題型，在解題時要注意臨界條件的確定，并能正確選擇機械能守恒列式求解．