Question

如圖所示為宇宙中一個恒星系的示意圖，其中A為該星系中的一顆行星，它繞中央恒星O運行的軌道近似為圓．天文學家觀測得到A行星運行的軌道半徑為R_O，周期為T．長期觀測發現，A行星實際運動的軌道與圓軌道總存在一定的偏離，且周期性地每格t．時間發生一次最大的偏離，天文學家認為形成這種現象的原因可能是A行星外側還存在著一顆未知的行星B（假設其運行的軌道與A在同一平面內，且與A的繞行方向相同），它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離．根據上述現象及假設，你能對未知行星B的運動得到哪些定量的預測？

Answer 1

分析：研究行星繞恒星做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式帶有周期表達式，再根據已知量解出恒星質量；根據開普勒第三定律解得軌道半徑．

解答：解：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔t時間相距最近．
設B行星周期為T_B，根據在時間t內A比B多轉一圈，則有：

2π?t

T

-

2π?t

TB

=2π
T_B=

tT

t-T

，
該B行星的運動的軌道半徑為R_B，
據開普勒第三定律：

R 3 B

T 2 B

=

R 2 0

T2

解得：R_B=R

3	( t t-T )2

答：根據上述現象及假設可以得出B行星周期T_B=

tT

t-T

，B行星的運動的軌道半徑R_B=R

3	( t t-T )2

．

點評：從本題可以看出，通過測量環繞天體的軌道半徑和公轉周期，可以求出中心天體的質量．