Question

25.神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX-3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成。兩星視為質點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T。

(1)可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點處質量為m′的星體(視為質點)對它的引力，設A和B的質量分別為m₁、m₂，試求m′(用m₁、m₂表示)；

(2)求暗星B的質量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁之間的關系式；

(3)恒星演化到末期，如果其質量大于太陽質量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率v=2.7×10⁵m/s，運行周期T=4.7π×10⁴s，質量m₁=6m_s，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎?(G=6.67×10^-11N·m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg)

Answer 1

（1）

（2）

（3）暗星B有可能是黑洞。

 

解析:（1）設A、B的圓軌道半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設其為ω。由牛頓運動定律，有

    F_A=m₁ω²r₁

    F_B= m₂ω²r₂

    F_A=F_B

    設A、B之間的距離為r，又r=r₁+r₂，由上述各式得

    r=r₁    ①

    由萬有引力定律，有

    F_A=G

    將①代入得

    F_A=G

    令

    F_A=G

    比較可得

    m′=    ②

（2）由牛頓第二定律，有

    G=m₁    ③

    又可見星A的軌道半徑

    r₁=    ④

    由②③④式解得

        ⑤

（3）將m₁=6m_s代入⑤式，得

   

    代入數據得

    =3.5m_s    ⑥

    設m₂=nm_s（n＞0），將其代入⑥式，得

    m_s=3.5m_s    ⑦

    可見，的值隨n的增大而增大，試令n=2，得

    m_s=0.125m_s＜3.5m_s    ⑧

    若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質量m₂必大于2m_s，由此得出結論：暗星B有可能是黑洞。