Question

（2011?杭州二模）為了解決高樓救險中云梯高度不夠高的問題，可在消防云梯上再伸出輕便的滑桿，如圖為一次消防演習中模擬解救被困人員的示意圖，被困人員使用安全帶上的掛鉤掛在滑桿上、沿滑桿下滑到消防云梯上逃生．為了安全，被困人員滑到云梯頂端的速度不能太大，通常滑桿由 AO、OB兩段直桿通過光滑轉軸在O處連接，滑桿A端用掛鉤鉤在高樓的固定物上，且可繞固定物自由轉動，B端用鉸鏈固定在云梯上端，且可繞鉸鏈自由轉動，以便調節被困人員滑到云梯頂端的速度大小．設被困人員在調整好后的滑桿上下滑時滑桿與豎直方向的夾角保持不變，被困人員可看作質點、不計過O點時的機械能損失．已知AO長L₁=6m，OB長L₂=12m，豎直墻與云梯上端點B的水平距離d=13.2m，被困人員安全帶上的掛鉤與滑桿AO間、滑桿OB間的動摩擦因數均為μ=5/6，被困人員到達云梯頂端B點的速度大小不能超過6m/s，取g=10m/s²．
（1）現測得OB與豎直方向的夾角為53⁰，請分析判斷被困人員滑到B點是否安全．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（2）若云梯頂端B點與豎直墻間的水平距離保持不變，求能夠被安全營救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離．（結果可用根式表示）

Answer 1

分析：（1）對OA由幾何關系可求得夾角，對人受力分析由牛頓第二定律可求得加速度的大小及方向；
再運用運用學公式求得被困人員到達云梯頂端B點速度，去進行比較．
（2）對全程由動能定理可得出重力及摩擦力做功與動能的關系，由幾何關系可求得最大距離．

解答：解：（1）設桿OA、OB與豎直方向的夾角分別為α、β，由幾何關系：
d=L₁sinα+L₂sinβ            
α=37°
由牛頓第二定律：
mgcosα-μmgsinα=ma₁      
a₁=3m/s² 
V₀²=2a₁L₁
 V₀=6m/s
mgcosβ-μmgsinβ=ma₂ 
a₂=-2/3m/s² 
V_B²-V₀²=2（-a₂）L₂
VB=2

5

m/s
因V_B＜6m/s，被困人員能安全到達云梯頂端B點．
（2）設滑桿兩端點AB的最大豎直距離為h，對被困人員下滑全過程由動能定理得：mgh-μmgL1sinα′-μmgL2sinβ′=

1

2

mV2
d=L₁sinα'+L₂sinβ'
h=

V2

2g

+μd
h≤12.8m
若兩桿伸直，AB間的豎直高度為：
h′=

(L1+L2)2-d2

h′=

149.76

m=12.24m
h'＜h
所以能夠被安全營救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離應為h_m=12.24m．
答：（1）現測得OB與豎直方向的夾角為53⁰，被困人員滑到B點是安全的．
（2）若云梯頂端B點與豎直墻間的水平距離保持不變，能夠被安全營救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離是12.24m．

點評：本題重點在于對幾何關系的認識，要注意找出題目中的臨界條件，再結合能量關系即可求出所要求的量來．