Question

【題目】萬有引力和庫侖力有類似的規律，有很多可以類比的地方。已知引力常量為G，靜電力常量為k。

（1）用定義靜電場強度的方法來定義與質量為M的質點相距r處的引力場強度EG的表達式；

（2）質量為m、電荷量為e的電子在庫侖力的作用下以速度v繞原子核做勻速圓周運動，該模型與太陽系內行星繞太陽運轉相似，被稱為“行星模型”，如圖（1）。已知在一段時間內，電子走過的弧長為s，其速度方向改變的角度為θ（弧度）。不考慮電子之間的相互作用，求出原子核的電荷量Q；

（3）如圖（2），用一根長為L的絕緣細線懸掛一個可看成質點的金屬小球，質量為m，電荷量為-q。懸點下方固定一個足夠大的水平放置的均勻帶正電的介質平板。小球在豎直平面內做小角度振動。已知重力加速度為g，不計空氣阻力。

a．已知忽略邊緣效應的情況下，帶電平板所產生的靜電場的電場線都垂直于平板，靜電場的電場力做功與路徑無關。請證明：帶電平板所產生的靜電場是勻強電場；

b．在上述帶電平板附近所產生的靜電場場強大小為E，求：金屬小球的振動周期。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）a.見解析；b.

【解析】

（1）EG的表達式為

（2）根據

聯立得

（3）a．反證法

法1：如圖，若存在電場線平行但不等間距的靜電場，則可以引入試探電荷+q，讓+q從a點沿矩形路線abcda（ab與電場線平行，bc邊與電場線垂直）運動一周回到a點。設ab處的場強大小為E1，cd處的場強大小為E2，根據功的定義，電場力做的總功

其中

bc段和da段電場力始終與運動方向垂直

故

得

但根據電場力做功的特點，做功與路徑無關，故

上述假設矛盾，故不存在電場線平行但不等間距的靜電場

法2：如圖，若存在電場線平行但不等間距的靜電場，則可以引入試探電荷+q，讓+q從a點分別沿矩形abcd（ab與電場線平行，bc邊與電場線垂直）的abc和adc運動到c點。設ab處的場強大小為E1，cd處的場強大小為E2，根據功的定義，路徑ac和adc電場力做的功分別為

其中

bc段和da段電場力始終與運動方向垂直

故

，

得

故

但根據電場力做功的特點，做功與路徑無關，故

上述假設矛盾，故不存在電場線平行但不等間距的靜電場

b．電場力

等效重力加速度

小球在庫侖力作用下的振動周期