Question

如圖所示，水平面上有一個動力小車，在動力小車上豎直固定著一個長度L₁、寬度L₂的矩形線圈，線圈匝線為n，總電阻為R，小車和線圈的總質量為m，小車運動過程所受摩擦力為f．小車最初靜止，線圈的右邊剛好與寬為d（d＞L₁）的有界磁場的左邊界重合．磁場方向與線圈平面垂直，磁感應強度為B．現控制動力小車牽引力的功率，讓它以恒定加速度a進入磁場，線圈全部進入磁場后，開始做勻速直線運動，直至完全離開磁場，整個過程中，牽引力的總功為W．
（1）求線圈進入磁場過程中，感應電流的最大值和通過導線橫截面的電量．
（2）求線圈進入磁場過程中，線圈中產生的焦耳熱．
（3）寫出整個過程中，牽引力的功率隨時間變化的關系式．

Answer 1

分析：（1）由題，線框先做勻加速運動后勻速運動，當線框剛進入磁場時，速度最大，感應電流也最大，根據運動學公式求出此時的速度，由E=BLv和歐姆定律求解最大感應電流．由法拉第電磁感應定律、歐姆定律等推導出通過導線橫截面的電量．
（2）根據功能關系得知，整個過程中，牽引力的總功W等于回路中產生的焦耳熱、摩擦生熱和線框的動能，由焦耳定律求出線框穿出磁場時焦耳熱，即可求出線圈進入磁場過程中產生的焦耳熱．
（3）根據牛頓第二定律分三段求解牽引力的功率隨時間變化的關系式：線框進入磁場、完全在磁場中、穿出磁場．

解答：解：（1）全部進入磁場時速度：v=

2aL1

最大電動勢：E_m=nBL₂v
最大電流為：Im=

Em

R

=

nBL2 2aL1

R

q=

.

I

△t=

. ε

R

?△t=n

△?

△t

?

△t

R

=n

△?

R

=

nBL1L2

R

（2）設進入和離開磁場過程中，線圈產生的焦耳熱分別為Q_入和Q_出，則在整個過程中，
牽引力的總功：W=Q入+Q出+f(L1+d)+

1

2

mv2
 Q出=

I

2 m

Rt出，
 t出=

L1

v

；
將I_m及v代入
得：Q出=

n2B2 L 2 2 L1 2aL1

R

解得：Q入=W-f(L1+d)-maL1-

n2B2 L 2 2 L1 2aL1

R

（3）①小車進入磁場階段做勻加速運動：
  0＜t＜

2L1 a

，v_t=at，I=

nBL2vt

R

由

P

vt

-f-nBIL2=ma得：P=

n2B2L22a2

R

t2+(f+ma)at，（0＜t＜

2L1 a

）
②小車完全在磁場中運動：P=f

2aL1

，（

2L1 a

＜t＜(

2L1 a

+

d-L1

2aL1

)）
③小車勻速穿出磁場的過程：P=（F_安+f）v
得P=

2an2B2L1L22

R

+f

2aL1

（(

2L1 a

+

d-L1

2aL1

)＜t＜(

2L1 a

+

d

2aL1

)）
答：
（1）線圈進入磁場過程中，感應電流的最大值是

nBL2 2aL1

R

，通過導線橫截面的電量

nBL1L2

R

．
（2）線圈進入磁場過程中，線圈中產生的焦耳熱是W-f（L1+d）-maL₁-

n2B2 L 2 2 L1 2aL1

R

．
（3）在整個過程中，牽引力的功率隨時間變化的關系式是）①小車進入磁場階段做勻加速運動：
P=

n2B2L22a2

R

t2+(f+ma)at，（0＜t＜

2L1 a

）
②小車完全在磁場中運動：P=f

2aL1

，（

2L1 a

＜t＜(

2L1 a

+

d-L1

2aL1

)）
③小車勻速穿出磁場的過程：P=

2an2B2L1L22

R

+f

2aL1

（(

2L1 a

+

d-L1

2aL1

)＜t＜(

2L1 a

+

d

2aL1

)）．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合，安培力是關鍵量．運用功能關系，要分析回路中涉及幾種形式的能，能量如何轉化．