Question

（2009?東城區一模）如圖所示，位于豎直平面內的1/4圓弧光滑軌道，半徑為R，軌道的最低點B的切線沿水平方向，軌道上端A距水平地面高度為H．質量為m的小球（可視為質點）從軌道最上端A點由靜止釋放，經軌道最下端B點水平飛出，最后落在水平地面上的C點處，若空氣阻力可忽略不計，重力加速度為g．求：
（1）小球運動到B點時，軌道對它的支持力多大；?
（2）小球落地點C與B點的水平距離x為多少；?
（3）比值R/H為多少時，小球落地點C與B點水平距離x最遠；該水平距離最大值是多少．

Answer 1

分析：（1）小球由A→B過程中，只有重力做功，根據機械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球從B點拋出后做平拋運動，根據平拋運動的位移公式求解；
（3）利用數學知識分析水平位移的表達式即可求解．

解答：解：
（1）小球從A點運動到B點的過程中，機械能守恒，設在B點的速度為v_B，根據機械能守恒定律有  mgR=

1

2

mv_B²
設小球在B點時所受軌道的支持力為F_N，對小球在B點根據牛頓第二定律有
F_N-mg=m

v 2 B

R

聯立可解得F_N=3mg
（2）小球離開B點后做平拋運動．
沿豎直方向有  H-R=

1

2

gt2
沿水平方向有  x=v_Bt 
聯立解得  x=2

R(H-R)

（3）由x=2

R(H-R)

可導出x=

H2-(2R-H)2

當

R

H

=

1

2

時，x有最大值．
x的最大值x_m=H 
答：（1）小球運動到B點時，軌道對它的支持力為3mg；?
（2）小球落地點C與B點的水平距離x為2

R(H-R)

；?
（3）比值

R

H

等于

1

2

時，小球落地點C與B點水平距離x最遠；該水平距離最大值是H．

點評：本題關鍵對兩個的運動過程分析清楚，然后選擇機械能守恒定律和平拋運動規律列式求解．