Question

（2002?河南）如圖（a）所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠小于板的長和寬）．在兩板之間有一帶負電的質點P．已知若在A、B間加電壓U_o，則質點P可以靜止平衡．現在A、B間加上如圖（b）所示的隨時間t變化的電壓u．在t=0時質點P位于A、B間的中點處且初速為零．已知質點P能在A、B之間以最大的幅度上下運動而又不與兩板相碰，求圖（b）中u改變的各時刻t₁、t₂、t₃及t_n的表達式．（質點開始從中點上升到最高點，及以后每次從最高點到最低點或從最低點到最高點的過程中，電壓只改變一次．）

Answer 1

分析：先求出加速上升的加速度和減速上升的加速度，根據運動學公式列式求解出t₁；再計算出加速下降和減速下降的加速度，根據運動學公式求解出t₂；然后逐步擴展到第n次上升和下降．

解答：解：設質點P的質量為m，電量大小為q，根據題意，當A、B間的電壓為U₀時，有
?

qU0

d

=mg，
?當兩板間的電壓為2U₀時，P的加速度向上，其大小為a，則

2qU0

d

-mg=ma，
?解得a=g．
?當兩板間的電壓為零時，P自由下落，加速度為g，方向向下．
?在t=0時，兩板間的電壓為2U₀，P自A、B間的中點向上做初速度為零的勻加速運動，加速度為g．設經過時間τ₁，P的速度變為v₁，此時使電壓變為零，讓P在重力作用下做勻減速運動，再經過時間τ₁′，P正好到達A板且速度為零，故有
?v₁=gτ₁，0=v₁-gτ₁′，
?

1

2

d=

1

2

gτ₁²+v₁τ₁′-

1

2

gτ₁′²，
?由以上各式，得
?τ₁=τ₁′，τ₁=

2

2

d g

，
?因為t₁=τ₁，得t₁=

2

2

d g

．
?在重力作用下，P由A板處向下做勻加速運動，經過時間τ₂，速度變為v₂，方向向下，這時加上電壓使P做勻減速運動，經過時間τ₂′，P到達B板且速度為零，故有
?v₂=gτ₂，0=v₂-gτ₂′，
?d=

1

2

gτ₂²+v₂τ₂′-

1

2

gτ₂′²，
?由以上各式，得τ₂=τ₂′，τ₂=

d g

，
?因為t₂=t₁+τ₁′+τ₂，
?得t₂=（

2

+1）

d g

．
?在電場力與重力的合力作用下，P由B板處向上做勻加速運動，經過時間τ₃，速度變為v₃，此時使電壓變為零，讓P在重力作用下做勻減速運動．經過時間τ₃′，P正好到達A板且速度為零，故有
?v₃=gτ₃，0=v₃-gτ₃′，
?d=

1

2

gτ₃²+v₃τ₃′-

1

2

gτ₃′²
?由上得τ₃=τ₃′，τ₃=

d g

，
?因為t₃=t₂+τ₂′+τ₃，
?得t₃=（

2

+3）

d g

．
?根據上面分析，因重力作用，P由A板向下做勻加速運動，經過時間τ₂，再加上電壓，經過時間τ₂′，P到達B且速度為零，因為t₄=t₃+τ₃′+τ₂，
?得t₄=（

2

+5）

d g

．
?同樣分析可得
?t_n=（

2

+2n-3）

d g

．（n≥2）
故圖（b）中u改變的各時刻t₁=

2

2

d g

，t₂=（

2

+1）

d g

，t₃=（

2

+3）

d g

，及t_n=（

2

+2n-3）

d g

（n≥2）．

點評：本題關鍵在于運用牛頓運動定律得到各個時間段的加速度，然后根據運動學公式逐步計算，最后總結規律得到t_n的一般表達式．