Question

（14分）如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個(gè)很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD光滑，內(nèi)圓A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一質(zhì)量m＝0.2 kg的小球從軌道的最低點(diǎn)A以初速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，球的尺寸略小于兩圓間距，球運(yùn)動(dòng)的半徑R＝0.2 m，取g＝10 m/s².(1)若要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度v₀至少為多少？(2)若v₀＝3 m/s，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間小球到達(dá)最高點(diǎn)，內(nèi)軌道對(duì)小球的支持力N＝2 N，則小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是多少？(3)若v₀＝3 m/s，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)A時(shí)受到的支持力為多少？小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中減少的機(jī)械能是多少？

Answer 1

(1)3.16 m/s　(2)0.1 J　(3)6 N　0.5 J

試題分析：(1)設(shè)此情形下小球到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度為v_C，則有
小球從A運(yùn)動(dòng)到C由機(jī)械能守恒定律有
m＝m＋2mgR  
代入數(shù)據(jù)解得v₀＝ m/s＝3.16 m/s.
(2)設(shè)此時(shí)小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v_C′，克服摩擦力做的功為W，則
 

代入數(shù)據(jù)解得W＝0.1 J． 
(3)經(jīng)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的速度為v_A，受到的支持力為N_A，則有

代入數(shù)據(jù)解得N_A＝6 N
設(shè)小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中減少的機(jī)械能為ΔE，由功能關(guān)系有 
代入數(shù)據(jù)解得ΔE＝0.5 J．