Question

如圖所示（甲），一輛汽車車廂右端放一質量為m的木箱（可視為質點），汽車車廂底板總長L=9m，汽車車廂底板距離地面的高度H=5m，木箱與汽車車廂底板間的動摩擦因數µ=0.4，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g=10m/s²（計算結果保留三位有效數字）．

（1）若汽車從靜止開始啟動，為了保證啟動過程中木箱和汽車車廂底板間不發生相對滑動，求汽車的最大加速度a；
（2）若汽車由靜止開始以a=6m/s²的加速度勻加速行駛，求木箱落到地面上時距離車廂左端的水平距離（木箱離開車廂后豎直方向為自由落體）；
（3）若汽車從靜止開始一直以（2）中加速度加速運動，為了防止木箱從車廂左端滑出，在車廂左端處安裝一只長度可忽略的輕彈簧（如圖乙所示），此時彈簧處于壓縮狀態并被鎖定．每次當木箱滑至左端與彈簧發生碰撞時，彈簧都將自動解鎖，并都以碰前瞬間木箱速率（相對于車）的2倍速率（相對于車）將木箱彈出，同時又將彈簧壓縮并重新鎖定．如此反復，通過多次碰撞最終使木箱靜止于車廂內，試求木箱在車廂內滑行的總路程．
（已知：當0＜A＜1，n→+∞時，；）

Answer 1

【答案】分析：（1）木箱和汽車車廂底板間恰好不發生相對滑動時，靜摩擦力達到最大，由牛頓第二定律求解最大加速度a．
（2）汽車由靜止開始以a加速度勻加速行駛時，木箱相對于地向右做勻加速運動，當兩者的位移之差L時，木箱離開汽車，由L=-求出時間，由v=at求出木箱離開汽車時的速度大�。�木箱離開車廂后做平拋運動，由高度求出時間，再由運動學公式分別求出平拋運動過程中木箱的水平位移和汽車通過的位移，由位移關系求解木箱落到地面上時距離車廂左端的水平距離．
（3）當木箱相對于車向左滑動時相對于車的加速度大小為a_相=a-a=2m/s²，設木箱滑到車廂的左端時相對車的速度為v₁，．彈簧將木箱彈出時，木箱相對于車向右滑動時，木箱相對于車廂的加速度大小為a_相′=a+a=10m/s²，木箱相對于車向右做勻減速運動，設向右滑行至距離左端L₁處停止，有（2v₁）²=2a_相′L₁．可得，L₁=0.8L．用同樣的方法得到木箱第n次與彈簧碰撞后向右滑行的距離為L_n．即可得到木箱在車廂內滑行的總路程．
解答：解：（1）木箱和車廂恰好不發生相對滑動時，加速度最大，則由根據牛頓第二定律得
   μmg=ma
解得，a=μg=4m/s²．
（2）設木箱在車廂上滑動的時間為t，則有
  L=-
得 t==3s
木箱離開汽車時的速度大小為v=at=12m/s，汽車此時的速度為V=at=18m/s
木箱離開車廂后做平拋運動，則有
  H=
解得，t′=1s
所以s=（Vt′+）-vt′=9m
（3）當木箱相對于車向左滑動時相對于車的加速度大小為a_相=a-a=2m/s²，
設木箱滑到車廂的左端時相對車的速度為v₁．
由  ①
彈簧將木箱彈出時，木箱相對于車向右滑動時，木箱相對于車廂的加速度大小為
 a_相′=a+a=10m/s²，木箱相對于車向右做勻減速運動，設向右滑行至距離左端L₁處停止，則有
   （2v₁）²=2a_相′L₁   ②
由①②得，L₁=0.8L
設第二次碰到彈簧前的速度大小為v₂，則有
   ③
設第二次向右滑行至距離左端L₂處停止，則有
=2a_相′L₂   ④
由③④得，L₂=0.8L₁=0.8²L
  …
根據遞推規律可知，設木箱第n次與彈簧碰撞后向右滑行的距離為L_n．
 
故木箱在車廂內滑行的總路程為
 S=L+2×0.8L+2×0.8²L+…+2（0.8）ⁿL
其中n→∞
由題意知，S=L+2=9L=81m．
答：
（1）汽車的最大加速度a是4m/s²；
（2）木箱落到地面上時距離車廂左端的水平距離是9m．
（3）木箱在車廂內滑行的總路程是81m．
點評：本題是有相對運動的問題，運用牛頓第二定律和運動學公式解決這類問題是基本方法．第3問根據相對加速度和相對速度，求解相對位移，尋找規律，得到總路程．