Question

【題目】游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來．我們把這種情況抽象為圖2的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端無初速滾下，小球進入圓軌道下端后沿圓軌道運動，其中M、N分別為圓軌道的最低點和最高點．實驗發現，只要h大于一定值，小球就可以順利通過圓軌道的最高點．如果已知圓軌道的半徑為R=5.0m小球質量為m=1.0kg（不考慮摩擦等阻力，）問：

（1）h至少為多大才可使小球沿圓軌道運動而不掉下來．

（2）如果h=15m，小球通過M點時的速度為多大？此時軌道對小球的支持力為多大？

（3）高度h大，小球滑至N點時軌道對小球的壓力越大，試推出于h函數關系式．

Answer 1

【答案】(1) 12.5m (2) ，70N (3)

【解析】

(1)小球恰能通過N點即小球通過最高點時恰好不受軌道的壓力重力提供向心力即應滿足：

小球運動到最高點的過程中只有重力做功，由機械能守恒定律：

聯立計算解得：

(2)從開始下落到M點，滿足機械能守恒：

計算得出

對M點分析，由牛頓第二定律得：

代入數據計算得出：

(3)小球由靜止運動到最高點的過程中機械能守恒則：

小球在最高點在重力和軌道的壓力下作圓周運動，對N點分析根據牛頓第二定律得：

計算得出：

答：(1)h至少為時，才可使小球沿圓軌道運動而不掉下來.

(2)如果，小球通過M點時的速度為，此時軌道對小球的支持力為;

(3)于h函數關系式：