Question

在科學研究中，可以通過施加適當的電場和磁場來實現對帶電粒子運動的控制。如圖所示的xOy平面處于勻強電場和勻強磁場中，電場強度E和磁感應強度B隨時間t做周期性變化的圖象如圖所示。x 軸正方向為E的正方向，垂直紙面向里為B的正方向。在坐標原點O有一粒子P，其質量和電荷量分別為m和+q.不計重力。在t=時刻釋放P，它恰能沿一定軌道做往復運動。

（1）求P在磁場中運動時速度的大小v₀；

（2）求B₀應滿足的關系；

（3）在t₀（0＜t₀＜）時刻釋放P，求P速度為零時的坐標。

 

Answer 1

【答案】

 （1） （2），（n=1，2，3……）

（3）.

【解析】（1）對比題圖可知：隨著時間的變化，電場和磁場是交替產生的，有磁場前，粒子受到恒定的電場力，做勻加速直線運動。由勻變速直線運動的速度公式v=at即可求解，要注意粒子從t=才開始運動。（2）要求B₀應滿足的關系，首先需抓住題中的關鍵語：“恰能沿一定軌道做往復運動”，從而實現對本題解答的切入，然后分析粒子會做τ時間的勻速圓周運動，要想往復，則2τ時刻粒子的速度方向正好沿x軸負方向。要注意粒子做圓周運動的重復性，洛倫茲力提供向心力等。（3）從t₀滿足0＜t＜時刻釋放，粒子將會在電場力的作用下勻加速τ-t₀的時間，并以速度進入磁場，在根據對稱性，找到速度為零的時刻，再根據數學的知識找到其坐標即可。

解：（1）～τ時間段內做勻加速直線運動，τ～2τ時間段內做勻速圓周運動

電場力F=qE₀，加速度a=，速度v₀=at，其中t=，解得v₀=.

（2）只有當t=2τ時，P在磁場中做圓周運動結束并開始沿x軸負方向運動，才能沿一定軌道做往復運動，如圖所示。

設P在磁場中做圓周運動的周期為T，則，（n=1，2，3……）

勻速圓周運動 ，

解得，（n=1，2，3……）

（3）在t₀時刻釋放，P在電場中加速時間為τ-t₀，在磁場中做勻速圓周運動，

圓周運動的半徑，解得

又經τ-t₀時間P減速為零后向右加速時間為t₀，P再進入磁場，圓周運動的半徑，解得

綜上分析，速度為零時橫坐標x=0，相應的縱坐標為

y=或2k（r₁-r₂），（k=1，2，3……）

解得y=或，（k=1，2，3……）

【考點定位】本題考查帶電粒子在復合磁場和電場中的運動問題。重在考查學生的對運動過程的分析、對圖像的觀察與分析以及運用數學知識解決物理問題的能力。難度較大。