Question

A、B兩行星在同一平面內(nèi)繞同一恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行方向相同，A的軌道半徑為r₁，B 的軌道半徑為r₂，已知恒星質(zhì)量為M，恒星對(duì)行星的引力遠(yuǎn)大于行星間的引力，兩行星的軌道半徑r₁<r₂.若在某一時(shí)刻兩行星相距最近，試求：
（1）再經(jīng)過多長時(shí)間兩行星距離又最近？
（2）再經(jīng)過多長時(shí)間兩行星距離最遠(yuǎn)？

Answer 1

解：
（1）A、B兩行星在如圖所示的位置時(shí)距離最近，這時(shí)A、B兩行星與恒星在同一條圓半徑上.A、B運(yùn)動(dòng)方向相同．A 更靠近恒星，A的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度大、周期短如果經(jīng)過時(shí)間t，A、B兩行星分別與恒星連線的半徑轉(zhuǎn)過的角度相差2π的整數(shù)倍，則A、B與恒星又位于同一條圓半徑上，兩行星距離又最近。
設(shè)A、B兩行星的角速度分別為ω₁、ω₂，經(jīng)過時(shí)間t，A轉(zhuǎn)過的角度為ω₁t，B轉(zhuǎn)過的角度為ω₂t．A、B兩行星距離最近的條件是：ω₁t-ω₂t=n·2π （n=1，2，3，…），恒星對(duì)行星的引力提供向心力，則
，即
由此得出
求得；
（2）如果經(jīng)過時(shí)間t'，A、B兩行星分別與恒星連線的半徑轉(zhuǎn)過的角度相差π的奇數(shù)倍，則A、B與恒星位于同一條直徑上，兩行星距離最遠(yuǎn)．
如果經(jīng)過時(shí)間t'，A、B轉(zhuǎn)過的角度相差π的奇數(shù)倍時(shí)，則 A、B相距最遠(yuǎn)，即：
ω₁t'-ω₂t'=（2k-1）π （k=1，2，3，…），
得