Question

2007年10月24日，中國首顆探月衛星“嫦娥一號”在西昌衛星發射中心發射升空，準確進入預定軌道，隨后，“嫦娥一號”經過變軌和制動成功進入環月軌道．如圖所示，陰影部分表示月球，設想飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道I上做勻速圓周運動，到達A點時經過短暫的點火變速，進入橢圓軌道II，在到達軌道II近月點B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道III，而后飛船在軌道III上繞月球做勻速圓周運動，已知月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，引力常量為G．不考慮其他星體對飛船的影響，求：
（1）飛船在軌道I、III上的速度之比：
（2）飛船在軌道I上的運動周期；
（3）飛船從軌道II上遠月點A運動至近月點B所用的時間．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力得出線速度與軌道半徑的關系，從而得出速度之比．
（2）根據萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出飛船在軌道I上的運動周期．
（3）根據開普勒第三定律求出飛船在橢圓軌道上的周期，從而求出飛船從軌道II上遠月點A運動至近月點B所用的時間．

解答：解：（1）根據G

Mm

r2

=m

v2

r

，
知v=

GM r

，
因為r₁=4R，r₃=R，
則

v1

v3

=

r3 r1

=

1

2

．
（2）根據G

Mm

(4R)2

=m?4R

4π2

T2

，
又G

Mm

R2

=mg₀
聯立兩式解得T=16π

R g0

．
（3）橢圓的半長軸為2.5R
根據開普勒第三定律得，

(2.5R)3

T′2

=

(4R)3

T2

解得T′≈8π

R g0

則飛船從軌道II上遠月點A運動至近月點B所用的時間t=

T′

2

=4π

R g0

．
答：（1）飛船在軌道I、III上的速度之比為1：2．
（2）飛船在軌道I上的運動周期為16π

R g0

．
（3）飛船從軌道II上遠月點A運動至近月點B所用的時間為4π

R g0

．

點評：本題主要考查萬有引力定律的應用，開普勒定律的應用．同時根據萬有引力提供向心力列式計算．