Question

如圖所示，兩根間距為L的金屬導軌MN和PQ，電阻不計，左端彎曲部分光滑，水平部分導軌與導體棒間的滑動摩擦因數為μ，水平導軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強磁場Ⅰ，右端有另一磁場Ⅱ，其寬度也為d，但方向豎直向下，兩磁場的磁感強度大小均為B₀，相隔的距離也為d.有兩根質量為m、電阻均為R的金屬棒a和b與導軌垂直放置，b棒置于磁場Ⅱ中點C、D處．現將a棒從彎曲導軌上某一高處由靜止釋放并沿導軌運動下去．

（1）當a棒在磁場Ⅰ中運動時，若要使b棒在導軌上保持靜止，則a棒剛釋放時的高度應小于某一值h₀，求h₀的大小；

（2）若將a棒從彎曲導軌上高度為h（h<h₀）處由靜止釋放，a棒恰好能運動到磁場Ⅱ

的左邊界處停止，求a棒克服安培力所做的功；

（3）若將a棒仍從彎曲導軌上高度為h（h<h₀）處由靜止釋放，為使a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應電流，可讓磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間而變化，將a棒剛進入磁場Ⅰ的時刻記為t＝0，此時磁場Ⅱ的磁感應強度為B₀，試求出在a棒通過磁場Ⅰ的這段時間里，磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間變化的關系式．

 

Answer 1

解析：

(1)因為a棒進入磁場Ⅰ后做減速運動，所以只要剛進入時b棒不動，b就可以靜止不動．對a棒：由機械能守恒：mgh₀＝mv   (2分)

對回路：ε＝B₀Lv₀，I＝  (2分)

對b棒：B₀IL＝μmg (1分)

聯立解得：h₀  (1分)

（2）由全過程能量守恒與轉化規律：mgh＝μmg2d＋W_克A   (2分)

解得：W_克A＝mgh－μmg2d                 (1分)

（3）a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應電流，說明感應電動勢為零，根據法拉第電磁感應定律ε＝，在Δt≠0的前提下，ΔΦ＝0即Φ保持不變

對a棒：由機械能守恒：mgh＝mv²     (1分)

a棒進入磁場Ⅰ后，由牛頓第二定律得：a＝μg  (1分)

經過時間t，a棒進入磁場Ⅰ的距離為x＝vt－at²  (1分)

磁通量Φ＝B₀(d－x)L－BL    (2分)

又最初磁通量為Φ₀＝B₀dL－B₀L＝B₀dL＝Φ   (1分)

聯立解得：B＝B₀－       (1分)