Question

【題目】一個(gè)廢棄的空礦井，井口和井底都是水平的．井口和井底以及任意水平橫截面都是邊長(zhǎng)為a的正方形，四個(gè)側(cè)面墻壁都與水平面垂直．礦井的深度為H，如圖所示．在井口的一邊的中點(diǎn)A，以垂直于該側(cè)面墻壁的速度v水平拋出一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球進(jìn)入礦井運(yùn)動(dòng)，空氣阻力忽略不計(jì)．在第（1）個(gè)問和第（3）個(gè)問中，g=9.8m/s，在第（2）個(gè)問中，重力加速度用g表示，且都保持不變．

（1）若H=4.9m，a=6m，小球不會(huì)與側(cè)面墻壁相碰就落到了井底，求小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、速度v的取值范圍．

（2）若H、a、v都是已知條件但具體數(shù)值未知，用所給的字母表示出小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

（3）若小球與側(cè)面墻壁的碰撞是一種非常理想的碰撞，每次碰撞都滿足：設(shè)撞擊墻壁前瞬間的速度為v1，如圖所示，類似于光的反射一樣，反彈的速度大小v2=v1，并且角度滿足圖示的情形，且碰撞時(shí)間極短．H=78.4m、a=5m、v=7m/s，求小球在落到井底之前能與側(cè)面墻壁碰撞的次數(shù)．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）5次

【解析】

（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間．（2）分小球未碰到側(cè)面墻壁和碰到側(cè)面墻壁進(jìn)行討論，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．（3）由公式求出小球一直下落到井底的總時(shí)間，小球一直在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，s=vt，由求解碰撞次數(shù)．

（1）由，得：

由，得：

故速度v的取值范圍為0m/s＜v＜6m/s．

（2）若，

若，

若，

（3）若小球一直下落到井底：

解得：

如果小球一直在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則

故，說明可以與墻壁撞擊5次．