Question

【題目】如圖所示，一根輕彈簧左端固定于豎直墻上，右端被質量可視為質點的小物塊壓縮而處于靜止狀態，且彈簧與物塊不栓接，彈簧原長小于光滑平臺的長度。在平臺的右端有一傳送帶，AB長，物塊與傳送帶間的動摩擦因數，與傳送帶相鄰的粗糙水平面BC長，它與物塊間的動摩擦因數，在C點右側有一半徑為R的光滑豎直圓弧與BC平滑連接，圓弧對應的圓心角為，在圓弧的最高點F處有一固定擋板，物塊撞上擋板后會以原速率反彈回來。若傳送帶以的速率順時針轉動，不考慮物塊滑上和滑下傳送帶的機械能損失。當彈簧儲存的能量全部釋放時，小物塊恰能滑到與圓心等高的E點，取。

（1）求右側圓弧的軌道半徑為R；

（2）求小物塊最終停下時與C點的距離；

（3）若傳送帶的速度大小可調，欲使小物塊與擋板只碰一次，且碰后不脫離軌道，求傳送帶速度的可調節范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）物塊被彈簧彈出，由，可知：

因為，故物塊滑上傳送帶后先減速物塊與傳送帶相對滑動過程中，

由：，，

得到：，，

因為，故物塊與傳送帶同速后相對靜止，最后物塊以的速度滑上水平面BC，物塊滑離傳送帶后恰到E點，由動能定理可知：

代入數據整理可以得到：。

（2）設物塊從E點返回至B點的速度為，由

得到，因為，故物塊會再次滑上傳送帶，物塊在恒定摩擦力的作用下先減速至0再反向加速，由運動的對稱性可知其以相同的速率離開傳送帶，設最終停在距C點x處，由，得到：.

（3）設傳送帶速度為時物塊能恰到F點，在F點滿足

從B到F過程中由動能定理可知：

解得：

設傳送帶速度為時，物塊撞擋板后返回能再次上滑恰到E點，

由：

解得：

若物塊在傳送帶上一直加速運動，由

知其到B點的最大速度

綜合上述分析可知，只要傳送帶速度就滿足條件。