Question

如圖甲所示，豎直放置的金屬板A、B中間開有小孔，小孔的連線沿水平放置的金屬板C、D的中軸線，粒子源P可以連續地產生質量為m、電荷量為q的帶正電粒子（初速不計），粒子在A、B間被加速后，再進入金屬板C、D間偏轉并均能從此電場中射出．已知金屬板A、B間的電壓U_AB=U₀，金屬板C、D長度為L，間距d=

3 L

3

．兩板之間的電壓U_CD隨時間t變化的圖象如圖乙所示．在金屬板C、D右側有一個垂直紙面向里的勻強磁場分布在圖示的半環形帶中，該環形帶的內、外圓心與金屬板C、D的中心O點重合，內圓半徑R_l=

3 L

3

．磁感應強度B₀=

24mU0 qL2

．已知粒子在偏轉電場中運動的時間遠小于電場變化的周期（電場變化的周期T未知），粒子重力不計．
（1）求粒子離開偏轉電場時，在垂直于板面方向偏移的最大距離；
（2）若所有粒子均不能從環形磁場的右側穿出，求環形帶磁場的最小寬度．

Answer 1

分析：（1）對粒子加速過程由動能定理求得進入偏轉電場的速度．要在垂直于板面方向偏移的距離最大，那么粒子的加速度也要最大，即所加的電壓最大．根據類平拋運動的規律求解．
（2）進入偏轉電場的粒子剛好不能穿出磁場時的環帶寬度為磁場的最小寬度，根據動能定理求出粒子進入磁場時的速度，畫出粒子剛好不能穿出磁場的軌跡圖，根據半徑公式結合幾何關系求解．

解答：解：（1）設粒子進入偏轉電場瞬間的速度為v，
對粒子加速過程由動能定理得qU_AB=

1

2

m

v

2

                             
進入偏轉電場后，加速度a=

qUcd

md

                                   
設運動時間為t，則有L=v₀t                                        
只有t=

T

2

時刻進入偏轉電場的粒子，垂直于極板方向偏移的距離最大
y=

1

2

at²=

qUcd

md

=

3

6

L                                    
（2）t=

T

2

時刻進入偏轉電場的粒子剛好不能穿出磁場時的環帶寬度為磁場的最小寬度．
設粒子進入磁場時的速度為v′，
對粒子的偏轉過程有 

1

3

qU=

1

2

mv′2-

1

2

mv2                               
解得：v′=

8qU0 3m

                       
在磁場中做圓周運動的半徑為R=

mv

qB

=

L

3

      
如圖所示，設環帶外圓半徑為R₂，
（R₂-R₁）²=

R

2 1

+R

2 2

 解得：R₂=L                            
所求d=R₂-R₁=（1-

3

3

）L
答：（1）粒子離開偏轉電場時，在垂直于板面方向偏移的最大距離是

3

6

L；
（2）環形帶磁場的最小寬度是（1-

3

3

）L．

點評：本題主要考查了帶電粒子分別在電場和磁場中的運動情況，當兩極間加上電壓時，粒子做類平拋運動，根據類平拋運動規律求解問題．粒子在勻強磁場中的運動，要掌握住半徑公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關系就比較明顯了．