Question

如圖，在傾角為37°的足夠長的光滑斜面上，放一質量為m_A=0.2kg的薄板A，A板上、下段由不同材料構成，下段表面光滑，長度l=3m，上段表面粗糙；質量為m_B=2.0kg的金屬塊B（視為質點）位于A的最下端，B與A上段間的動摩擦因數μ=0.1；質量為m_C=1.2kg的物塊C通過輕線繞過定滑輪與B相連．忽略滑輪質量及軸間的摩擦，A，B間最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力．開始時，整個系統在外力作用下，處子靜止狀態，輕線被拉
直．cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10m/s²．求：
（1）撤去外力的瞬間，A，B，C的加速度分別是多大？
（2）撤去外力后的整個過程中，因摩擦產生的熱量Q=？（繩足夠長，B始終沒滑出A板）

Answer 1

分析：（1）先分析撤去外力后BC的加速度，再求A的加速度．
（2）撤去外力后，A板從靜止開始向下做勻加速運動，只要金屬塊B在A板下段表面上，B、C就保持靜止不動，選擇不同的研究對象應用牛頓第二定律和運動學方程求出不同段的加速度．A、B、C最終達到速度相等．

解答：解：（1）由于m_Bgsin37°=m_cg=12 N  所以，撤去外力的瞬間a_B=a_c=0   
對薄板A，有m_Agsin37°=m_Aa_A
得 a_A=6 m/s²          
（2）由于斜面和A板下段表面都光滑，撤去外力后，A板從靜止開始向下做勻加速運動，只要金屬塊B在A板下段表面上，B、C就保持靜止不動．A板運動到金屬塊B在其上段表面上后，B和C受滑動摩擦力作用將一起以相同大小的加速度做加速運動．設A板上段剛滑到B下方時速度為v_A，則

V

2 A

=2aAl
解得v_A=6 m/s
B在A板上端表面時，設A板加速度為a_A1，B和C加速度為a_B1，輕線拉力為F，則
m_Agsin37°-μm_Bgcos37°=m_Aa_A
m_Bgsin37°+μm_Bgcos37°-F=m_Ba_B1
F-m_Cg=m_Ca_B1
解得a_A1=-2 m/s²，a_B1=0.5 m/s²
A、B、C最終達到速度相等．假設速度相等之后，A、B間的靜摩擦力f小于最大靜摩擦力f_m，即A、B相對靜止，A、B、C三者加速度大小相同，設為a₀，則
（m_A+m_B）gsin37°-m_Cg=（m_A+m_B+m_C）a₀
m_Agsin37°-f=m_Aa₀
a₀=0.5 m/s²，f=1.1N
f_m=μm_Bgcos37°=1.6N
即f＜f_m，假設成立，之后A、B相對靜止．
設A、B、C達到相等速度v₁所需時間為t，則
v₁=v_A+a_A1t=a_B1t      
解得t=2.4 s，v₁=1.2 m/s
設在時間t內，A通過的距離是x_A，B和C通過的距離是x_B，則
x_A=

1

2

（v_A+v₁）t   
x_B=

1

2

v₁t         
解得x_A=8.64m，x_B=1.44 m
Q=μm_Bg（x_A-x_B）   
Q=14.4J
答：（1）撤去外力的瞬間，A，B，C的加速度分別是6 m/s²、0、0．
（2）撤去外力后的整個過程中，因摩擦產生的熱量Q=14.4J

點評：本題是一道反復考查牛頓第二定律和運動學公式的題目，關鍵是正確分析每個分過程列出方程，特別是B與A的作用過程．是一道好題．