Question

如圖所示，裝置的左邊是足夠長的光滑水平臺面，一輕質彈簧左端固定，右端連接著質量M=1kg的小物塊A，裝置的中間是水平傳送帶，它與左、右兩邊的臺面等高，并能平滑對接．傳送帶始終以v=1m/s的速率逆時針轉動．裝置的右邊是一光滑曲面，質量m=0.5kg的小物塊B從其上距水平臺面高h=0.8m處由靜止釋放．已知物塊B與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.35，l=1.0m．設物塊A、B間發生的是對心彈性碰撞，第一次碰撞前物塊A處于靜止狀態．取g=10m/s²．
（1）求物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小．
（2）通過計算說明物塊B與物塊A第一次碰撞后能否運動到右邊的曲面上？
（3）如果物塊A，B每次碰撞后，彈簧恢復原長時都會立即被鎖定，而當它們再次碰撞前鎖定被解除，試求出物塊B第n次碰撞后的運動速度大小．

Answer 1

（1）設物塊B沿光滑曲面下滑到水平位置時的速度大小為v₀，由機械能守恒定律可得：
mgh=

1

2

mv₀²，
解得：v₀=

2gh

=

2×10×0.8

=4m/s，
設物塊B在傳送帶上滑動過程中因受摩擦力所產生的加速度大小為a，則有：μmg=ma，
設物塊B通過傳送帶后運動速度大小為v，有：v₁²-v₀²=-2al，
解得：v₁=3m/s＞v=1m/s，則物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小為3m/s；
（2）設物塊A、B第一次碰撞后的速度分別為v_A、v_B，取向右為正方向，由動量守恒定律得：
-mv₁=Mv_A+mv_B，
由機械能守恒定律得：

1

2

mv²=

1

2

mv_B²+

1

2

Mv_A²，
解得：v_A=-2m/s，v_B=1m/s，（v_A=0m/s，v_B=-3m/s不符合題意，舍去）
即碰撞后物塊B在水平臺面向右勻速運動，設物塊B在傳送帶上向右運動的最大位移為l'，則有：
0-v_B²=-2al′，
解得：l′=

1

7

＜l，
所以物塊B不能通過傳送帶運動到右邊的曲面上；
（3）當物塊B在傳送帶上向右運動的速度為零時，將會沿傳送帶向左加速．可以判斷，物塊B運動到左邊臺面是的速度大小為v_B，繼而與物塊A發生第二次碰撞．
由（2）可知，v_B=

1

3

v₁，
同理可得：第二次碰撞后B的速度：v_B1=

1

3

v_B=（

1

3

）²v₁，
…
第n次碰撞后B的速度為：v_B（n-1）=（

1

3

）ⁿv₁=（

1

3

）ⁿ×3=_）=（

1

3

）^n-1m/s；
答：（1）物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小為3m/s．
（2）物塊B與物塊A第一次碰撞不能運動到右邊的曲面上；
（3）物塊B第n次碰撞后的運動速度大小為（

1

3

）^n-1m/s．