例談求一次函數解析式的常見題型
時勇
一次函數及其圖像是初中代數的重要內容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點考查內容。其中求一次函數解析式就是一類常見題型。現以部分中考題為例介紹幾種求一次函數解析式的常見題型。希望對同學們的學習有所幫助。
一. 定義型
例1. 已知函數
是一次函數，求其解析式。
解：由一次函數定義知
，故一次函數的解析式為
注意：利用定義求一次函數
解析式時，要保證
。如本例中應保證
二. 點斜型
例2. 已知一次函數
的圖像過點（2，－1），求這個函數的解析式。
解：
一次函數的圖像過點（2，－1）
，即
故這個一次函數的解析式為
變式問法：已知一次函數，當
時，y＝－1，求這個函數的解析式。
三. 兩點型
已知某個一次函數的圖像與x軸、y軸的交點坐標分別是（－2，0）、（0，4），則這個函數的解析式為_____________。
解：設一次函數解析式為
由題意得
故這個一次函數的解析式為
四. 圖像型
例4. 已知某個一次函數的圖像如圖所示，則該函數的解析式為__________。
解：設一次函數解析式為
由圖可知一次函數的圖像過點（1，0）、（0，2）
有
故這個一次函數的解析式為
五. 斜截型
例5. 已知直線與直線
平行，且在y軸上的截距為2，則直線的解析式為___________。
解析：兩條直線
：
；
：
。當
，
時，
直線與直線平行，
。
又直線在y軸上的截距為2，
故直線的解析式為
六. 平移型
例6. 把直線
向下平移2個單位得到的圖像解析式為___________。
解析：設函數解析式為，直線向下平移2個單位得到的直線與直線平行
直線在y軸上的截距為
，故圖像解析式為
七. 實際應用型
例7. 某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩油量Q（升）與流出時間t（分鐘）的函數關系式為___________。
解：由題意得
，即
故所求函數的解析式為（
）
注意：求實際應用型問題的函數關系式要寫出自變量的取值范圍。
八. 面積型
例8. 已知直線
與兩坐標軸所圍成的三角形面積等于4，則直線解析式為__________。
解：易求得直線與x軸交點為（
，0），所以
，所以
，即
故直線解析式為
或
九. 對稱型
若直線
與直線關于
（1）x軸對稱，則直線l的解析式為
（2）y軸對稱，則直線l的解析式為
（3）直線y＝x對稱，則直線l的解析式為
（4）直線
對稱，則直線l的解析式為
（5）原點對稱，則直線l的解析式為
例9. 若直線l與直線關于y軸對稱，則直線l的解析式為____________。
解：由（2）得直線l的解析式為
十. 開放型
例10. 已知函數的圖像過點A（1，4），B（2，2）兩點，請寫出滿足上述條件的兩個不同的函數解析式，并簡要說明解答過程。
解：（1）若經過A、B兩點的函數圖像是直線，由兩點式易得
（2）由于A、B兩點的橫、縱坐標的積都等于4，所以經過A、B兩點的函數圖像還可以是雙曲線，解析式為
（3）其它（略）
十一. 幾何型
例11. 如圖，在平面直角坐標系中，A、B是x軸上的兩點，
，
，以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點，若C點的坐標為（0，3）。（1）求圖像過A、B、C三點的二次函數的解析式，并求其對稱軸；（2）求圖像過點E、F的一次函數的解析式。
解：（1）由直角三角形的知識易得點A（
，0）、B（
，0），由待定系數法可求得二次函數解析式為
，對稱軸是
（2）連結OE、OF，則
、
。過E、F分別作x、y軸的垂線，垂足為M、N、P、G，易求得E（
，
）、F（
，
）由待定系數法可求得一次函數解析式為
十二. 方程型
例12. 若方程
的兩根分別為
，求經過點P（
，
）和Q（
，）的一次函數圖像的解析式
解：由根與系數的關系得
，
，
點P（11，3）、Q（－11，11）
設過點P、Q的一次函數的解析式為
則有
解得
故這個一次函數的解析式為
十三. 綜合型
例13. 已知拋物線
的頂點D在雙曲線
上，直線
經過點D和點C（a、b）且使y隨x的增大而減小，a、b滿足方程組
，求這條直線的解析式。
解：由拋物線的頂點D（
）在雙曲線上，可求得拋物線的解析式為：
，頂點D1（1，－5）及
頂點D2（
，－15）
解方程組得
，
即C1（－1，－4），C2（2，－1）
由題意知C點就是C1（－1，－4），所以過C1、D1的直線是
；過C1、D2的直線是
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