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2009屆高考數學壓軸題預測

專題四  解析幾何

考點一  曲線（軌跡）方程的求法

1.       設上的兩點，

滿足，橢圓的離心率短軸長為2，0為坐標原點.

    （1）求橢圓的方程；

    （2）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；

    （3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

 解析：本例（1）通過，，及之間的關系可得橢圓的方程；（2）從方程入手，通過直線方程與橢圓方程組成方程組并結合韋達定理；（3）要注意特殊與一般的關系，分直線的斜率存在與不存在討論。

 答案：（1）

橢圓的方程為 

   （2）設AB的方程為

由

由已知

    2

  （3）當A為頂點時，B必為頂點.S_△AOB=1    

當A，B不為頂點時，設AB的方程為y=kx+b

所以三角形的面積為定值.

  點評：本題考查了直線與橢圓的基本概念和性質，二次方程的根與系數的關系、解析幾何的基本思想方法以及運用綜合知識解決問題的能力。

2.       在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為 A（0，－1），B（0, 1）平面內兩點G、M同時滿足① ,  ②= = ③∥    

（1）求頂點C的軌跡E的方程

（2）設P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點F的坐標為（, 0） ，已知∥ ,  ∥且?= 0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.

 解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表達點特征；（2）要把握好直線與橢圓的位置關系，弦長公式，靈活的運算技巧是解決好本題的關鍵。

 答案：（1）設C ( x , y )， ,由①知,G為        

△ABC的重心 ，    G(,)   由②知M是△ABC的外心，M在x軸上

 由③知M（，0），

由  得

化簡整理得：（x≠0）。

 （2）F（，0 ）恰為的右焦點

  設PQ的斜率為k≠0且k≠±，則直線PQ的方程為y = k ( x －)

由

設P(x₁ , y₁) ，Q (x₂ ,y₂ )  則x₁ + x₂ =  ,    x₁?x₂ =        

則| PQ | = ?

       =  ?

       =  

  RN⊥PQ,把k換成得 | RN | =   

  S =| PQ | ? | RN |

      =  =) 

≥2 ， ≥16

≤ S  < 2 ， (當 k = ±1時取等號)

又當k不存在或k = 0時S = 2

綜上可得  ≤ S ≤ 2

 S_max = 2 ， S_min =   

  點評：本題考查了向量的有關知識，橢圓與直線的基本關系，二次方程的根與系數的關系及不等式，轉化的基本思想方法以及運用綜合知識解決問題的能力。

考點二  圓錐曲線的幾何性質

3.       如圖，F為雙曲線C：的右焦點  P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點  已知四邊形為平行四邊形， 

（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關系式；

（Ⅱ）當時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程 

分析:  圓錐曲線的幾何性質結合其它圖形的考查是重點。注意靈活應用第二定義。

解：∵四邊形是，∴，作雙曲線的右準線交PM于H，則，又， 

（Ⅱ）當時，，，，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，

又，由得：，解得，則，所以為所求

點評：本題靈活的運用到圓錐曲線的第二定義解題。

4.       設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線 

（Ⅰ）、求橢圓的方程；

（Ⅱ）、設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點， 若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明：點在以為直徑的圓內 

分析：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力

解：（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝ 

故橢圓的方程為   

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 

設M（x₀，y₀） 

∵M點在橢圓上，∴y₀＝（4－x₀²）                 1

又點M異于頂點A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三點共線可以得

P（4，） 

從而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，） 

∴?＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）        2

將1代入2，化簡得?＝（2－x₀） 

∵2－x₀>0，∴?>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點B在以MN為直徑的圓內 

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）  設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

則－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中點Q的坐標為（，），

依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差

－＝(－2）²＋（）²－[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₁                     3

又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，

而點兩直線AP與BP的交點P在準線x＝4上，

∴，即y₂＝                       4

又點M在橢圓上，則，即        5

于是將4、5代入3，化簡后可得－＝ 

從而，點B在以MN為直徑的圓內 

點評：本題關鍵是聯系直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力

考點三  直線與圓錐曲線位置關系問題

5.       已知拋物線C：上任意一點到焦點F的距離比到y軸的距離大1。

（1）求拋物線C的方程；

（2）若過焦點F的直線交拋物線于M、N兩點，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；

（3）求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題．

    例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為，求側棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求所有側面面積之和的最小值”．

   現有正確命題：過點的直線交拋物線C：于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過焦點F。

   試給出上述命題的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題。

解析：

答案：解：（1）

（2）設（t>0），則，F(1,0)。

因為M、F、N共線，則有，

所以，解得，

所以，

因而，直線MN的方程是。

（3）“逆向問題”一：

①已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線交拋物線C于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點。

證明：設過F的直線為y=k(x)，，，則

由得，所以， ， =，

所以直線RQ必過焦點A。

②過點的直線交拋物線C于P、Q兩點，FP與拋物線交于另一點R，則RQ垂直于x軸。

③已知拋物線C：，過點B(m,0 )（m>0）的直線交拋物線C于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點A(-m,0)。

 “逆向問題”二：已知橢圓C：的焦點為F₁(-c,0)，F₂(c,0)，過F₂的直線交橢圓C于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點。

 “逆向問題”三：已知雙曲線C：的焦點為F₁(-c,0)，F₂(c,0)，過F₂的直線交雙曲線C于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點。

考點四  圓錐曲線的應用

（1）．圓錐曲線的標準方程和幾何性質與平面向量的巧妙結合。

6.       （2004年全國高考天津理科22題）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（C，0）（C＞0）的準線L與X軸相交于點A，，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若 OP?O Q = 0，求直線PQ的方程；

（3）設 A P =  AQ（＞1），過點P且平行與準線L的直線與橢圓相交于另一點M，證明  FM = - FQ 。

分析：（1）要求橢圓的方程及離心率，很重要的一點就是要熟悉這種二次曲線的標準方程的中心、長軸長、短軸長、焦點坐標、標準方程、離心率、焦距等有關概念及幾何性質。解：（1）根據已知條件“橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（C，0）（C＞0）的準線L與X軸相交于點A。” 可設橢圓的方程為 （a＞），從而有；又因可以有，聯系以上這兩個關于a、c的方程組并解得a=，c=2，所以橢圓的方程為，離心率e=。

（2）根據已知條件 “O P?O Q = 0” ，我們可設 P ，Q，把兩個向量的數量積的形式轉化為坐標表示的形式，再根據直線 PQ 經過 A（3，0），只須求出直線PQ的斜率K即可求出直線PQ的方程。而P、Q兩點又在橢圓上，因此，我們容易想到通過直線y=k（x-3）與橢圓，聯系方程組消去一個未知數y（或x）得，并利用一元二次方程的根與系數關系結合及不難求出k=，這里應特別注意K的值要保證＞0成立，否則無法保證直線PQ與橢圓有兩個交點。

（3）要證F M =- F Q ，我們容易想到通過式中兩個向量FM、FQ的坐標之間關系來謀求證題的方法。為此我們可根據題意“過點P且平行為準線L的直線與橢圓相交于另一點M”，求得點M坐標為。又因AP=AQ，易知FM、FQ的兩個縱坐標已經滿足，所以現在要考慮的問題是如何證明FM、FQ的兩個橫坐標應該滿足，事實上，

注意到＞1，解得    ⑤

因F（2，0），M，故FM==。

  ==

又FQ=，因此FM=-FQ。

點評：本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質及相關概念，直線方程、平面向量的坐標表示和向量的數量積，多元二次方程組解法、曲線和方程的關系、直線與橢圓相交等解析幾何的基礎思想方法，以及分析問題和綜合解題能力。

把兩個向量之間的關系，轉化為兩個向量坐標之間的關系，再通過代數運算的方法來解決有關向量的問題是一種常用的解題手段。

7.       （江蘇卷）已知，記點P的軌跡為E.

   （1）求軌跡E的方程；

   （2）若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點.

       （i）無論直線l繞點F₂怎樣轉動，在x軸上總存在定點，使恒成立，求實數m的值.

       （ii）過P、Q作直線的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記，求λ的取值范圍.

解析：

答案：解：（1）由知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為

   （2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為，與雙曲線方程聯立消y得，

    解得k² >3

   （i）