撫州一中2009屆高三第四次模擬考試
數(shù)學(xué)試卷（文）
命題人 ：高三數(shù)學(xué)組 考試時(shí)間 ：2009.5
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．設(shè)集合
，則
等于 （ ）
2．若曲線
的一條切線
的斜率為
，則切線的方程是 （ ）
3．已知三條不重合的直線
，兩個(gè)不重合的平面
，有下列命題
①
，
； ②
，
，
；
③
；
④
，
，
，
.
其中正確的命題個(gè)數(shù)是 （ ）
4．從圓
外一點(diǎn)
向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（ ）
5．若關(guān)于
的不等式
＋4的解集是
，則對(duì)任意實(shí)常數(shù)
，總有（ ）
6．已知
，且
，其中
，則
的值有可能是（ ）
或
或
或
7．設(shè)
為
所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且
，則
的面積與 的面積之比為 （ ）
8．二項(xiàng)式
展開(kāi)式中，所有有理項(xiàng)（不含
的項(xiàng)）的系數(shù)之和為 （ ）
9．
五人爭(zhēng)奪某項(xiàng)比賽的前三名，組織者對(duì)前三名發(fā)給不同的獎(jiǎng)品，若
獲獎(jiǎng)，
不是第一名，則不同的發(fā)獎(jiǎng)方式共有 （ ）
72種 30種 24種 14種
10．?dāng)?shù)列
滿足：
，
，
若
對(duì)于任意
都成立，則正整數(shù)
的最小值為( )www.wwwtb789.com
11．在直角坐標(biāo)系
中，過(guò)雙曲線
的左焦點(diǎn)
作圓
的一條切線（切點(diǎn)為
）交雙曲線右支于點(diǎn)，若為
的中點(diǎn)。則
等于（ ）
12．若實(shí)數(shù)
滿足
，則 （ ）
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.
13．將函數(shù)
按向量
平移后得到的函數(shù)表達(dá)式是
；
14．已知點(diǎn)A，B，C，D在同一球面上，AB
平面
，
，若
，
，
，則B、C兩點(diǎn)間的球面距離是 ；
15．如果點(diǎn)
在不等式組
所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則
的取值范圍是 ；
16．已知函數(shù)
與
的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱，
設(shè)
，若
在區(qū)間
上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)
的取值范圍是 ．
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17．（本題滿分12分）
已知四棱錐
的底面
是正方形，側(cè)棱
的中點(diǎn)
在底面內(nèi)的射影恰好是正方形的中心
，頂點(diǎn)
在截面
內(nèi)的射影恰好是
的重心
．
（1）求直線
與底面所成角的正切值；
（2）設(shè)
，求此四棱錐過(guò)點(diǎn)
的截面面積．
18．（本題滿分12分）
某工廠由于工作失誤，未貼標(biāo)簽前，把3箱含“三聚氰胺”的問(wèn)題牛奶與合格的3箱牛
奶混到了一起。對(duì)這6箱牛奶逐箱進(jìn)行檢測(cè)，到確定出3箱問(wèn)題奶粉為止。
（1）求通過(guò)3次檢測(cè)，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來(lái)的概率；
（2）求最多通過(guò)4次檢測(cè)，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選很出來(lái)的概率。
19．（本題滿分12分）
在銳角中，已知
，且
，
.
（1）求角與
的大小；
（2）
是以為圓心，
為半徑的圓的直徑，已知
，求
的最大值.
20．（本題滿分12分）
已知函數(shù)
，
，其中
，
，設(shè)
為
的極小值點(diǎn)，
為
的極值點(diǎn)，
，并且
，將點(diǎn)
，
，
，
依次記為
．
（1）求的值；
（2）若四邊形
為梯形且面積為，求
的值．
21．（本題滿分12分）
已知橢圓
的方程為
，雙曲線
的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線
與橢圓及雙曲線都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足
(其中為原點(diǎn))，求k的取值范圍．
22．（本題滿分14分）
數(shù)列
的通項(xiàng)是關(guān)于
的不等式
的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)，
．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2) 若
，求
的和
；
(3) 求證：對(duì)
且
恒有
．
撫州一中2009屆高三第四次模擬考試
一、選擇題
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
D
C
A
A
B
A
C
D
二、填空題13.
； 14.
； 15.
； 16.
.
三、解答題
１7．（1）
兩兩相互垂直, 連結(jié)
并延長(zhǎng)交
于F．
同理可得
------------ (6分)
（2）
是
的重心, F是SB的中點(diǎn)
梯形的高
--- (12分)
【注】可以用空間向量的方法
18．解：
（1）設(shè)通過(guò)3次檢測(cè)，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來(lái)的事件為A
1分
P（A）=
5分
所以通過(guò)3次檢測(cè)，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來(lái)的概率為
…6分
（2）設(shè)最多通過(guò)4次檢測(cè)，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來(lái)的事件為B … 7分
P（B）=
11分
所以最多通過(guò)4次檢測(cè)，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來(lái)的概率為
… 12分
19．（1）
.
又
.
.………6分
（2）
又
，
.從而
當(dāng)
且同向時(shí)，
.………12分
20.解：(1) 
,
令
，由
得
或
.
.
.
當(dāng)
時(shí)，
，當(dāng)
時(shí),
,所以
處取極小值，即
…………4分
（2）
處取得極小值，即
由
即
由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得
.有
即
由四邊形ABCD的面積為1，得
即
得
，從而
得
……12分
21．（1）設(shè)雙曲線C2的方程為
= 1，則a2 = 4 ? 1 = 3，再由a2 + b2
= c2得b2 = 1．故C2的方程為
= 1． （5分）
（2）將y = kx +
代入
得(1 + 4k2)x2 + 8kx + 4 = 0，由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得
(8)2k2 ? 16 (1 +
4k2) = 16(4k2 ? 1)＞0，即k2＞
．①(7分)
將y = kx + 代入
得(1 ? 3k2)x2 ? 6kx ? 9 = 0．由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B得
．即k≠
且k2＜1．②（9分）
設(shè)A (xA，yA)，B (xB，yB)，則xA + xB
= 
，xA，xB = 
，由
得xA xB +
yA yB＜6，而xA xB +
yA yB = xA xB + (kxA + ) (kxb + )= (k2 + 1) xA xB + k (xA + xB) + 2 = (k2 + 1)?
，于是
＜6，即將
．解此不等式得
或
．
③ （11分）
由①、②、③得
，
故k的取值范圍為
． （12分）
22．（1）
．
（２）
，
則
，
．
（３）
，
即
①
又由于
，
則
，
兩式相減得
，
，
當(dāng)
且
時(shí)是增函數(shù)，
的最小值是
， ②
由①②得： 
成立．
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